Exponentiation 的 O(logn) 算法

求幂的O(logn)算法应该已经众所周知了。这里就不做深入地分析，只是简单介绍下并提供两个样板程序。在写下O(logn)算法之前，还是先补充介绍下算法的数学背景。

显然，上面的数学式具有递归形式。所以，递归实现可以写成：

int Power(int base, unsigned exponent) { if (0 == exponent) return 1; if (1 == exponent) return base; if (exponent & 1) return Power(base * base, exponent >> 1) * base; else return Power(base * base, exponent >> 1); }

另外，我们也可以把递归式转化为非递归的循环实现方式。先用一个例子来阐述下循环的特点。我用a^15为例。

1. 令 res = a^15，base = a，exponent = 15。因为exponent是奇数，所以 res = a^14 * a。
2. 令 res1 = a^14，则 base = a，exponent = 14，res = res1 * a。
3. 分析 res1，因为exponent为偶数，所以 res1 = (a^2)^7。
4. 令 b = a^2，则 res1 = b^7，base = b，exponent = 7。重复步骤1。因为exponent是奇数，所以 res1 = b^6 * b。
5. 重复步骤2。令res2 = b^6。则 base = b，exponent = 6，res1 = res2 * b。
6. 重复步骤3。res2 = (b^2)^3。
7. 重复步骤4。令c = b^2。则res2 = c^3，base = c， exponent = 3。因为exponent是奇数，所以res2 =  c^2 * c。
8. 重复步骤2。令 res3 = c^2。则 res2 = res3 * c。
9. 从以上的分析，我们看到 res = res1 * a = res2 * b * a = res3 * c * b * a。

可以发现，res3 * c * b * a中，每次乘法操作都发生在exponent为奇数时。而每次当exponent为偶数时，我们都是在计算b，c和res3，而且b，c和res3都是a的偶次幂。再结合最开头的数学式，我们可以得到如下的代码：

 int Power(int base, unsigned exponent) { int result = 1, tempBase = base; while (exponent) { while (!(exponent & 1)) { tempBase *= tempBase; exponent >>= 1; } --exponent; result *= tempBase; } return result; }