LeetCode 5198. 丑数 III（Java）容斥原理和二分查找

题目链接：5198. 丑数 III

请你帮忙设计一个程序，用来找出第 n 个丑数。

丑数是可以被 a 或 b 或 c 整除的 正整数。

示例 1：

输入：n = 3, a = 2, b = 3, c = 5
输出：4
解释：丑数序列为 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10… 其中第 3 个是 4。

示例 2：

输入：n = 4, a = 2, b = 3, c = 4
输出：6
解释：丑数序列为 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12… 其中第 4 个是 6。

示例 3：

输入：n = 5, a = 2, b = 11, c = 13
输出：10
解释：丑数序列为 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13… 其中第 5 个是 10。

示例 4：

输入：n = 1000000000, a = 2, b = 217983653, c = 336916467
输出：1999999984

提示：

• 1 <= n, a, b, c <= 10^9
• 1 <= a * b * c <= 10^18
• 本题结果在 [1, 2 * 10^9] 的范围内

前言：

这是我第一次遇见 丑数 这个概念。

如果之前见过丑数的同学可能会发现，此题的丑数定义和【丑数 - 百度百科】的定义是不同的。

此题的丑数定义：丑数是可以被 a 或 b 或 c 整除的正整数。

题目比较坑的一点是示例 2 中的丑数序列是错的，它缺少 10。因为 10 能被 2 整除，所以 10 是丑数。

本来就没见过丑数，它还弄个错误的示例，导致写题的时候我的思路偏离。

题解：

知道丑数的定义，那么可以采用暴力搜索的方法找到第 n 个丑数。但是测试示例 4 的时候会 TLE。

因此需另寻他法。

给定一个数 n，和三个数 2，3，5，那么区间 [1, n] 有多少个丑数呢？

根据定义：我们知道 2 的倍数肯定是丑数，有多少个 2 的倍数呢？当然是 n / 2 个啦（全部向下取整）。
同理 3 的倍数也是，有 n / 3 个。
5 的倍数有 n / 5 个。

现在你会发现另一个问题，比如 6 是 2 的倍数，也是 3 的倍数。那岂不是计算了两遍？没错，确实算了两遍。因此我们需要知道 【容斥原理 - 百度百科】。说起来陌生，但是我相信大家都用过。

因此，我们可以知道区间 [1, n] 的丑数个数了。即

$num=\lfloor\frac{n}{a}\rfloor+\lfloor\frac{n}{b}\rfloor+\lfloor\frac{n}{c}\rfloor-\lfloor\frac{n}{bc}\rfloor-\lfloor\frac{n}{ac}\rfloor-\lfloor\frac{n}{ab}\rfloor+\lfloor\frac{n}{abc}\rfloor$

代码表示为：num = n / a + n / b + n / c - n / bc - n / ac - n / ab + n / abc

需要注意的是，题目没有说给的三个数是互质的，因此需要计算最小公倍数和最大公约数。

然后再用【二分查找 - 百度百科】逼近第 n 个丑数 $U_n$。

时间复杂度： 二分查找时间复杂度为 $O(log2n)$
空间复杂度： $O(1)$

Java：

class Solution {
	public int nthUglyNumber(	int n,
								int a,
								int b,
								int c) {
		long ab = lcm(a, b);// a,b的最小公倍数
		long ac = lcm(a, c);
		long bc = lcm(b, c);
		long abc = lcm(ab, c);

		long left = 1, right = 2000000000;
		while (left < right) {
			long mid = left + right >> 1;// 中间值，+优先级高于>>
			// 利用容斥原理计算区间[1, mid]的丑数
			long num = mid / a + mid / b + mid / c;
			num -= mid / bc + mid / ac + mid / ab;
			num += mid / abc;
			if (num < n) {
				left = mid + 1;// 取区间[mid + 1, right]
			} else {
				right = mid;// 取区间[left, mid]
			}
		}
		return (int) left;
	}

	// 计算最小公倍数
	private long lcm(	long a,
						long b) {
		return a / gcd(a, b) * b;// 需要调用gcd
	}

	// 计算最大公约数
	private long gcd(	long a,
						long b) {
		return b > 0 ? gcd(b, a % b) : a;
	}
}