WUSTOJ 1304: 最大最小公倍数（Java）

题目链接：🔗1304: 最大最小公倍数

Description

已知一个正整数$N$，问从$1 \sim N$中任选出三个数，他们的最小公倍数最大可以为多少。

Input

输入一个正整数$N$。$3 \leqslant N \leqslant 10^6$

Output

输出一个整数，表示你找到的最小公倍数。

Sample Input

9

Sample Output

504

分析💬

$1 \sim n$中最大的三个互质的数的乘积就是结果。

这里要用到2个结论（证明）：

1. 任意两个相邻的正整数互质
2. 任意两个相邻的正奇数互质

因此

1. 当$n$为奇数时，$ans=n*(n-1)*(n-2)$，这三个数两两互质

2. 当$n$为偶数时，$n，n-1，n-2$三个数中的$n$和$n-2$都是偶数，不互质，因此需要将其中一个数变为奇数。
   若将最小的$n-2$变为$n-3$，那么$n$和$n-3$有可能都是$3$的倍数，那就不互质了，因此需要判断$n$是否是$3$的倍数。
   若$n$是$3$的倍数，就将$n$变为$n-3$，则$ans=(n-1)*(n-2)*(n-3)$，
   若不是$3$的倍数，就将$n-2$变为$n-3$，则$ans=n*(n-1)*(n-3)$。

代码💻

/**
 * Time 224ms
 * @author wowpH
 * @version 1.1
 * @date 2019年6月9日下午10:51:26
 * Environment:	Windows 10
 * IDE Version:	Eclipse 2019-3
 * JDK Version:	JDK1.8.0_112
 */

import java.io.InputStreamReader;
import java.util.Scanner;

public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(new InputStreamReader(System.in));
		long n, ans;
		while (sc.hasNext()) {
			n = sc.nextInt();
			if (1 == (n % 2)) {// n是奇数
				ans = n * (n - 1) * (n - 2);
			} else if (0 == (n % 3)) {// n是偶数且是3的倍数
				ans = (n - 1) * (n - 2) * (n - 3);
			} else {// n是偶数但不是3的倍数
				ans = n * (n - 1) * (n - 3);
			}
			System.out.println(ans);
		}
		sc.close();
	}
}

结论：任意两个相邻的正整数互质

证：设两个正整数分别为n，n+1
    假设它们不互质，那么存在一个公约数a(a>1)，使得n%a=0和(n+1)%a=0成立。
    因为n%a=0成立，于是(n+1)%a=1成立，与假设相矛盾。
    故假设不成立，原结论成立。

结论：任意两个相邻的正奇数互质

证：设两个正奇数为n，n+2
	假设它们不互质，那么存在一个公约数a(a>1)，使得n%a=0和(n+2)%a=0成立
	因为n%a=0，因此(n+2)%a=2成立
	要想与假设不矛盾，那么a必须为2，于是n为偶数，与题意相矛盾。
	故假设不成立，原结论成立

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