求n*m网格内矩形的数目

问题描述：

　　求一个n*m的网格内存在的矩形数目

     例如：

　　1*1           有 1 个矩形：1个1*1的矩形

　　2*2          有 9 个矩形 ：4个1*1的矩形，4个1*2的矩形，1个2*2的矩形

　　3*3      有多少个矩形？？

　　。

　　。

　　。　　

思路一：　　总数=a1个1*1的矩形+a2个1*2的矩形+....+b1个2*1的矩形+b2个2*2的矩形+...+x个n*m的矩形；

　　根据统计发现规律如下，n*m网格的矩形，包括

　　　　1*1的矩形  n*m个  

　　　　1*2的矩形  n*（m-1）个

　　　　1*3的矩形  n*（m-2）个

　　　　.....

　　　　2*1的矩形  （n-1）*m 个

　　　　2*2的矩形  （n-1）*（m-1）个

　　　　....

算法一：

　　　　总数合计=n*m + n*(m-1) + n*(m-2)+....+(n-1)*m + (n-2)*(m-1)+...+)1

　　　　　　　　=n*(n+1)/2*(m*(m+1)/2)

　　　　　　　　=n*(n+1)*m*(m+1)/4

　　　　

     public int Compute1(int n, int m)
        {
            return n * (n + 1) * m * (m + 1) / 4;
        }

算法二：

　　　　按照统计逻辑思路进行编写代码

      public int Compute2(int _Width, int _Height)
        {
            Dictionary<string, int> dic = new Dictionary<string, int>();

            for (var i = 1; i <= _Width; i++)
            {
                for (var j = 1; j <= _Height; j++)
                {
                    var sum = GetCount(i, j);
                    dic.Add(i.ToString() + "," + j.ToString(), sum);
                    _TotalCount = _TotalCount + sum;
                }
            }

            return _TotalCount;
        }

        public int GetCount(int x, int y)
        {
            if (x == 1 && y == 1)
            {
                return _Width * _Height;
            }
            else
            {
                return (_Width - x + 1) * (_Height - y + 1);
            }
        }

　

思路二：

　　动态规划，假设dp[i][j]表示以第 i 行第 j 列的格子为右下角顶点的矩形数目，那么dp[i][j] = 1 + dp[i-1][j] + dp[i][j-1] – dp[i-1][j-1] , 这里的1表示i ,j 位置的格子自身构成1*1的矩形，之所以减去dp[i-1][j-1], 因为dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 都包含了dp[i-1][j-1]。计算时注意i = 1 和 j = 1的边界条件。最后把所有dp[i][j]加起来就是我们所求的答案。以3*3网格举例，为了计算方便，红色为设置的边界值，黑色的才是最后需要加起来的值（结果为36）

int rectNum(int row, int column)
{
    vector<vector<int> >dp(row+1, vector<int>(column+1, 1));
    int res = 0;
    dp[0][0] = 2;
    for(int i = 1; i <= row; i++)
        for(int j = 1; j <= column; j++)
        {
            dp[i][j] = 1 + dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1];
            res += dp[i][j];
        }
    return res;
}

思路三：

我们假设网格是1行m列的，那么总的矩形数目 = m(1*1的矩形) + m-1(1*2的矩形) + m-2(1*3的矩形) +…+1(1*m的矩形) = m*(m+1)/2，同理n行1列总的矩形数目是n*(n+1)/2. 对于n*m的网格，我们可以先确定好选取的行数（即确定矩形的高），公共有n*(n+1)/2种选法，选好以后就可以压缩成1行m列的网格来考虑了，因此总共n*(n+1)/2*m*(m+1)/2个矩形。

int rectNum(int row, int column)
{
    return row*(row+1)*column*(column+1)/4;
}