Codeforces Round 885 (Div. 2) C. Vika and Price Tags

C. Vika and Price Tags

C - Vika and Price Tags

题意：

​ 初始两串数列$a,b$，对于第$i$个数，令$c_i=|a_i-b_i|$，然后将数列$a=b,b=c$。重复这样的操作，问是否可能让$a$串全部变成0。

思路：

这题实际上之前已经发过，但最近打牛客对这题有了新的理解，所以来记录一下。

​ 让我们假设$a>>b$，那么我们模拟的过程就会变成如下这样:

$$\begin{gathered} (a,b)\to (b,a-b)\to (a-b,a-2b)\to (a-2b,b)\to (b,a-3b)\to (a-3b,a-4b)\to \\ (a-4b,b)\to (b,a-5b)\to (a-5b,a-6b)\to (a-6b,b)\to (b,a-7b) \end{gathered}$$

​ 仔细观察可以发现，$(a-kb,b)$和$(b,a-tb)$的结构在反复出现，且$k$一定为偶数，$t$一定为奇数。

​ 对于这种一个数不断地减去另一个数的形式，我们可以回想起，裴蜀定理得，$a,b$辗转相减只可能得到其$gcd$的若干倍(gcd辗转相除的原理)

​ 也即是说，对于$(a,b)$我们可以将其变成$(a\mathrm{\%}b,b)/(b,a\mathrm{\%}b)$，记$t=a/b$

​ 对于$t$为奇数，$(a,b)\to (b,a\mathrm{\%}b)$，次数为$(t-1)/2\ast 3+1$

​ 对于$t$为偶数，$(a,b)\to (a\mathrm{\%}b,b)$，次数为$t/2\ast 3$

int cal(int a, int b){
    if(a == 0){
        return 0;
    }
    else if(b == 0){
        return 1;
    }
    if(a >= b){
        int t = a / b;
        if(t % 2){
            return cal(b, a % b) + 1 + (t - 1) / 2 * 3;
        }
        else{
            return cal(a % b, b) + t / 2 * 3;
        }
    }
    else{
        return 1 + cal(b, abs(a - b));
    }
}
 
void QAQ(){
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n + 1), b(n + 1);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> b[i];
    set<int> s;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        if(a[i] == 0 && b[i] == 0) continue;
        s.insert(cal(a[i], b[i]) % 3);
    }
    if(s.size() <= 1) cout << "YES" << endl;
    else cout << "NO" << endl;
}

裴蜀定理得，$a,b$辗转相减只可能得到其$gcd$的若干倍(gcd辗转相除的原理)