SBT树！
在今年的信息学冬令营上，陈启峰提出了一个自己创造的BST数据结构—Size Balanced Tree。这个平衡二叉树被全世界内的许多网站所讨论，大家讨论的主题也只有一个—SBT能够取代Treap吗？本文详细介绍SBT树的性质，以及一些常用的操作，最后证明SBT是一颗高度平衡的二分查找树。
一． 介绍
众所周知，BST能够快速的实现查找等动态操作。但是在某些情况下，比如将一个有序的序列依次插入到BST中，则BST会退化成为一条链，效率非常之低。由此引申出来很多平衡BST，比如AVL树，红黑树，treap树等。这些数据结构都是通过引入其他一些性质来保证BST的高度在最坏的情况下都保持在O(log n)。其中,AVL树和红黑树的很多操作都非常麻烦，因此实际应用不是很多。而treap树加入了一些随机化堆的性质，实际应用效果非常好，实现起来很简单，一直以来受到很多人的青睐。本文介绍一种新的平衡BST树，实现起来也是非常之简单，并且能够支持更多的操作，实际评测效率跟treap也不差上下。
在介绍SBT之前，先介绍一下BST以及在BST上的旋转操作。
1. Binary Search Tree
BST是一种高级的数据结构，它支持很多动态操作，包括查找，求最小值，最大值，前驱，后继，插入和删除，能够用于字典以及优先队列。
BST是一棵二叉树，每个结点最多有2个儿子。每个结点都有个键值，并且键值必须满足下面的条件：
如果x是BST中的一个结点。那么x的键值不小于其左儿子的键值，并且不大于其右儿子的键值。
对于每个结点t，用left[t]和right[t]分别来存放它的两个儿子，ket[t]存放该结点的键值。另外，在SBT中，要增加s[t],用来保存以t为根的子树中结点的个数。
2. 旋转
为了保证BST的平衡(不会退化成为一条链)，通常通过旋转操作来改变BST的结构。旋转操作不会影响binary-search-tree的性质！
2.1右旋操作的伪代码
右旋操作必须保证左儿子存在
Right-Rotate(t)
k←left[t]
left[t]←right[k]
right[k]←t
s[k]←s[t]
s[t]←s[left[t]]+s[right[t]]+1
t←k
2.2 左旋操作的伪代码
左旋操作必须保证右儿子存在
Left-Rotate(t)
k←right[t]
right[t]←left[k]
left[k]←t
s[k]←s[t]
s[t]←s[left[t]]+s[right[t]]+1
t←k
二．Size Balanced Tree
Size Balanced Tree(简称SBT)是一种平衡二叉搜索树，它通过子树的大小s[t]来维持平衡性质。它支持很多动态操作，并且都能够在O(log n)的时间内完成。
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Insert(t,v) |
将键值为v的结点插入到根为t的树中 |
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Delete(t,v) |
在根为t的树中删除键值为v的结点 |
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Find(t,v) |
在根为t的树中查找键值为v的结点 |
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Rank(t,v) |
返回根为t的树中键值v的排名。也就是树中键值比v小的结点数+1 |
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Select(t,k) |
返回根为t的树中排名为k的结点。同时该操作能够实现Get-min,Get-max,因为Get-min等于Select(t,1),Get-max等于Select(t,s[t]) |
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Pred(t,v) |
返回根为t的树中比v小的最大的键值 |
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Succ(t,v) |
返回根为t的树中比v大的最小的键值 |
SBT树中的每个结点都有left，right，key以及前面提到的size域。SBT能够保持平衡性质是因为其必须满足下面两个条件：
对于SBT中的每个结点t，有性质(a)(b)：
(a). s[right[t]]≥s[left[left[t]]],s[right[left[t]]]
(b). s[left[t]]≥s[right[right[t]]],s[left[right[t]]]
即在上图中，有s[A],s[B]≤s[R]&s[C],s[D] ≤s[L]
三. Maintain
假设我们要在BST中插入一个键值为v的结点，一般是用下面这个过程：
Simple-Insert(t,v)
If t=0 then
t←NEW-NODE(v)
Else
s[t]←s[t]+1
If v<key[t] then
Simple-Insert(left[t],v)
Else
Simple-Insert(right[t],v)
执行完操作Simple-Insert后，SBT的性质(a)和(b)就有可能不满足了，这是我们就需要修复(Maintain)SBT。
Maintain(t)用来修复根为t的SBT,使其满足SBT性质。由于性质(a)和(b)是对称的，下面仅讨论对性质(a)的修复。
Case 1：s[left[left[t]]]>s[right[t]]
这种情况下可以执行下面的操作来修复SBT
执行Right-Rotate(T)
有可能旋转后的树仍然不是SBT,需要再次执行Maintain(T)
由于L的右儿子发生了变化，因此需要执行Maintain(L)
Case 2：s[right[left[t]]]>s[right[t]]
这种情况如下图所示：
需要执行一下步骤来修复SBT：
执行Left-Rotate(L)。如下图所示
执行Right-Rotate(T)。如下图所示
当执行完(1)(2)后，树的结构变得不可预测了。但是幸运的是，在上图中，A,E,F,R子树仍然是SBT。因此我们可以执行Maintain(L)和Maintain(T)来修复B的子树。
Case 3：
这种情况和case 1是对称的
Case 4：
这种情况和case 2是对称的
Maintain操作的伪代码：
在Maintain过程中，用一个变量flag来避免额外的检查。当flag为false时，代表case 1和case 2需要被检查,否则case 3和case 4需要被检查。
Maintain (t,flag)
If flag=false then
If s[left[left[t]]>s[right[t]] then
Right-Rotate(t)
Elseif s[right[left[t]]>s[right[t]] then
Left-Rotate(left[t])
Right-Rotate(t)
Else exit
Elseif s[right[right[t]]>s[left[t]] then
Left-Rotate(t)
Elseif s[left[right[t]]>s[left[t]] then
Right-Rotate(right[t])
Left-Rotate(t)
Else exit
Maintain(left[t],false)
Maintain(right[t],true)
Maintain(t,false)
Maintain(t,true)
四．常用操作
插入操作
SBT和插入操作和BST的基本相同，只是在插入之后需要执行下Maintain操作。
Insert (t,v)
If t=0 then
t←NEW-NODE(v)
Else
s[t] ←s[t]+1
If v<key[t] then
Simple-Insert(left[t],v)
Else
Simple-Insert(right[t],v)
Maintain(t,v≥key[t])
删除操作
如果没有找到要删除的结点，那么就删除最后一个访问的结点并记录。
Delete (t,v)
If s[t]≤2 then
record←key[t]
t←left[t]+right[t]
Exit
s[t] ←s[t]－1
If v=key[t] then
Delete(left[t],v[t]+1)
Key[t] ←record
Maintain(t,true)
Else
If v<key[t] then
Delete(left[t],v)
Else
Delete(right[t],v)
Maintain(t,v<key[t])
另外，由于SBT的平衡性质是靠size域来维护的，而size域本身(子树所含节点个数)对于很多查询算法都特别有用，这样使得查询集合里面的譬如第n小的元素，以及一个元素在集合中的排名等操作都异常简单，并且时间复杂度都稳定在O(log n)。下面仅介绍下上表提到的select(t,k)操作和rank(t,v)操作。
由于SBT的性质（结点t的关键字比其左子树中所有结点的关键字都大，比其左子树中所有的关键字都小），理解下面的算法非常容易。
3．Select操作
Select(t,k)
If k=s[left[t]]+1 then
return key[t]
If k<=s[left[t]] then
return Select(left[t],k)
Else
return Select(right[t],k-1-s[left[t]])
4．Rank操作
Rank(t,v)
If t=0 then
return 1
If v<=key[t] then
return rank(left[t],v)
Else
return s[left[t]]+1+rank(right[t],v)
同样,求前驱结点的操作Pred和后继结点的操作都很容易通过size域来实现。
五．相关证明分析
显然Maintain操作是一个递归过程，可能你会怀疑它是否会结束。下面我们可以证明Maintain操作的平摊时间复杂度为O(1)。
1．关于树的高度的分析
设f[h]表示高度为h的SBT中结点数目的最小值，则有
1 (h=0)
f[h]= 2 (h=1)
f[h-1]+f[h-2]+1 (h>1)
a．证明：
（1） 很明显f[0]=1,f[1]=2。
（2） 首先，对于任意h>1,我们假设t是一颗高度为h的SBT的根结点，则这颗SBT包含一颗高度为h-1的子树。不妨假设t的左子树的高度为h-1，根据f[h]的定义，有
s[left[t] ]≥f[h-1]，同样的，左子树中有一颗高度为h-2的子树，换句话说，左子树中含有一颗结点数至少为f[h-2]的子树。由SBT的性质(b)，可知s[right[t]] ≥f[h-2]。因此我们有s[t]=s[left[t]]+s[right[t]]+1≥f[h-1]+f[h-2]+1。
另外一方面，我们可以构造一颗高度为h，并且结点数正好为f[h]的SBT,称这样的SBT为tree[t]。可以这样来构造tree[h]：
含有一个结点的SBT (h=0)
tree[h]= 含有2个结点的任意SBT (h=1)
左子树为tree[h-1],右子树为tree[h-2]的SBT (h>1)
由f[h]的定义可知f[h] ≤f[h-1]+f[h-2]+1(h>1)。因此f[h]的上下界都为f[h-1]+f[h-2]+1,因此有f[h]=f[h-1]+f[h-2]+1。
b．最坏情况下的高度
事实上f[h]是一个指数函数，通过f[h]的递推可以计算出通项公式。
定理：
含有n个结点的SBT在最坏情况下的高度是满足f[h] ≤n的最大的h值。
假设maxh为含有n个结点的SBT的最坏情况下的高度。由上面的定理，有
于是很明显SBT的高度为O(logn)，是一颗高度平衡的BST！
2．对Maintain操作的分析
通过前面的计算分析我们能够很容易分析出Maintain操作是非常高效的。
首先，有一个非常重要的值来评价一颗BST的好坏：所有结点的平均深度。它是通过所有结点的深度之和SD除以结点个数n计算出来的。一般来说，这个值越小，这颗BST就越好。由于对于一颗BST来说，结点数n是一个常数，因此我们期望SD值越小越好。
现在我们集中来看SBT的SD值，它的重要性在于能够制约Maintain操作的执行时间。回顾先前提到的BST中的旋转操作，有个重要的性质就是：每次执行旋转操作后，SD值总是递减的！
由于SBT树的高度总是O(log n)，因此SD值也总是保持在O（log n）。并且SD仅在插入一个结点到SBT后才增加，因此(T是Maintain操作中执行旋转的次数)
Maintain操作的次数等于T加上不需要旋转操作的Maintain操作的次数。由于后者为O(nlogn)+O(T),因此Maintain的平摊分析时间复杂度为：
对各个操作时间复杂度的分析
现在我们知道了SBT的高度为O(log n)，并且 Maintain操作的平摊分析时间复杂度为O(1)，因此对于所有的常用操作，时间复杂度都稳定在O(log n)！
