《具体数学》习题试解1.10~1.12

1.10 设Q(n)是把n个盘从A移到B所需的最小移动次数，这次的限制条件是所有移动必须是顺时针方向，即只能从A到B，或从B到另一杆C，或从另一杆C到A，设R(n)是在同样的限制下从B移到A所需的最小次数，证明

当n = 0时，Q(n) = 0
当n > 0时，Q(n) = 2 * R(n-1) + 1
当n = 0时, R(n) = 0
当n > 0时，R(n) = Q(n) + Q(n-1) + 1

解 答：Q(n)的比较容易理解，把n个盘从A移到B，只需把上面n-1个盘从A移到C（需R(n-1)步），把大盘从A移到B（1步），把n-1个盘从C移 到B（需R(n-1)步），因此Q(n) <= 2R(n-1) + 1。关于下界的证明，我觉得似乎是和R(n)的实现有关，反正另外一个方案Q(n) = 2R(n)，是肯定要比2R(n-1)+1要大的，呵呵……就当是证出来了……

R(n)开始的时候我只能想到R(n)<=2Q(n)，看了答案才知道R(n)可以是R(n-1)+1+Q(n-1)+1+R(n-1)（意思很容易明白），又因为上面Q(n)=2R(n-1)+1，所以可得R(n)=Q(n)+Q(n-1)+1

1.11 一个加倍的hanoi塔包含n种不同大小的2n个盘子，每种2个，同样要求不能把大盘放在小盘上
a.若相同大小的盘没有区别，最小移动次数是多少？
b.若相同大小的盘有区别，要求最后仍然形成原来的次序，最小移动次数是多少？（提示：这个问题比较难，是一个Bonus Problem）

解答：a. 这一问还算简单啦，因为不加区分，所以把最下面两个相等大小的盘子移过去只需要两次，递归移动所有的盘子即可。

F(0) = 0
F(n) = 2 * F(n-1) + 2
写成闭形式：F(n) = 2^(n+1)-2;

b.首先看a中的移动会产生什么后果：所有相同大小的盘子序号全部都凡了。

现在要移动2n个盘子，且最后的序号要与开始相同，可以这样：

先将2n-2个按照a中的方式移动到c塔(序号反了),然后花一次移动把最大的盘子的第1个移动到b塔，然后再按照a中的方式将c塔上的2n-2个移动到b塔上（这样序号再反了一次，恢复了原样).

然后再把a塔剩余的一个最大的盘子移动到c塔上，然后再把b塔上面的2n-2个盘子移动到a塔(序号反了)，最下面的移动到c塔上,再把a塔的2n-2个盘子移动到c塔上，这样序号就又恢复过来了。

于是G(n)=4*F(n-1)+3

1.12 进一步推广1.11(a)的问题，如果有m种不同的盘，且恰好有n_k个盘的大小为k。如果相等大小的盘不加区别，求最小移动次数A(n₁,n₂...n_m)。

解答：看着挺吓人，实际上是一样的：

A(0) = 0
A(k) = 2 * A(k-1) + n_k (k>0)

闭形式么……观察这个递归式有什么特点……展开后……

A(k) = 2^(k-1)n₁ + 2^(k-2)n₂ + ... + 2n_k-1 + n_k

哈哈，实际上是把n₁n₂...n_m看成二进制后的值(n₁n₂...n_m)₂，有意思……