LeetCode | 面试题 57 - Ⅱ. 和为s的连续正数序列【Python】

LeetCode 面试题 57 - Ⅱ. 和为s的连续正数序列【Easy】【Python】【滑窗】【数学】

问题

力扣

输入一个正整数 target ，输出所有和为 target 的连续正整数序列（至少含有两个数）。

序列内的数字由小到大排列，不同序列按照首个数字从小到大排列。

示例 1：

输入：target = 9
输出：[[2,3,4],[4,5]]

示例 2：

输入：target = 15
输出：[[1,2,3,4,5],[4,5,6],[7,8]]

限制：

• 1 <= target <= 10^5

思路

解法一

滑动窗口

i 指针表示窗口左边界，j 指针表示窗口右边界。
当 sum < target 时，j 指针右移。
当 sum > target 时，i 指针右移。
当 sum = target 时，窗口内的数组加入 res，i 指针右移。
注意窗口的 range 是左闭右开 [ )。

时间复杂度: O(n)

Python3代码

class Solution:
    def findContinuousSequence(self, target: int) -> List[List[int]]:
        # solution one: sliding window
        i, j = 1, 1
        sum = 0
        res = []

        while i <= target // 2:
            if sum < target:
                # j + 1
                sum += j
                j += 1
            elif sum > target:
                # i + 1
                sum -= i
                i += 1
            else:
                arr = list(range(i, j))
                res.append(arr)
                # i + 1
                sum -= i
                i += 1

        return res

解法二

求根公式

可以看出是等差数列，于是想到求和公式:

$$
S_n = \frac{n}{2}(a+a_n)
$$

设 x 为首项，y 为末项，则 y-x+1 为项数。设和为 target:

$$
target=\frac{(x+y)*(y-x+1)}{2}
$$

将上式展开：

$$
x^2-x-y2-y+2*target=0
$$

根据求根公式：

$$
x_{1,2}=\frac{-b \pm\ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$

去掉负数根，就能得到下式：

$$
x = \sqrt{y^2+y-2*target+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}
$$

Python3代码

class Solution:
    def findContinuousSequence(self, target: int) -> List[List[int]]:
        # solution two: formula
        res = []
        
        for y in range(1, target // 2 + 2):  # range:[ )
            x = (1/4 + y**2 + y - 2*target) ** (1/2) + 0.5
            if type(x) != complex and x - int(x) == 0:  # x can't be complex and x must be int
                res.append(list(range(int(x), y + 1)))
        
        return res

解法三

间隔法

根据解法二的求根公式，将 i = y - x 代入，得到：

$$
target=\frac{(2x+i)*(i+1)}{2}
$$

进一步化简，得到：

$$
target = x(i+1)+\frac{i(i+1)}{2}
$$

最终得到：

$$
x = \frac{target-\frac{i(i+1)}{2}}{i+1}
$$

于是，得到两个条件：
1. i(i+1)/2 要小于 target
2. 分子必须可以整除分母

Python3代码

class Solution:
    def findContinuousSequence(self, target: int) -> List[List[int]]:
         # solution three
        i, res = 1, []

        while i*(i+1)/2 < target:
            if not (target - i*(i+1)/2) % (i+1):
                x = int((target - i*(i+1)/2) // (i+1))
                res.append(list(range(x, x+i+1)))
            i += 1
        
        # reverse
        return res[::-1]

代码地址

GitHub链接

参考

什么是滑动窗口，以及如何用滑动窗口解这道题（C++/Java/Python）

【详解】滑动窗口法 -> 求根法 -> 间隔法，一山还有一山高