题解 P2647 【最大收益】

身为两个死对头，这题很好地将贪心和 \(dp\) 结合了起来。

首先考虑一下买一个东西对之后所有东西的影响。不难发现，当我们所买的东西相同的时候，肯定是先买影响最小物品最划算。所以我们要 排序。

现在，我们就把问题转化为了：

如何买一堆物品，每个物品有一个价值，且价值取决于之后所购买的物品的数量，使得总价值最大。

不妨设 \(dp_{i,j}\) 表示在从后往前第 \(i\) 个物品这里，买了 \(j\) 个物品的最大收益。而如果我们倒着转移，会有些不方便（不习惯）。于是，把排序反一下，大的排在前面，然后设当前第 \(i\) 个物品为最早买的就好啦。

至于 \(dp\) 方程，考虑买与不买两种情况。

1. 对于买的情况，我们的价值没有变。\(dp_{i,j} = dp_{i-1,j}\)
2. 对于不买的情况，考虑价值的变化量。 \(dp_{i,j-1} = dp_{i-1,j-1} + w_i - p_i * j\)。
3. 边界：\(dp_{1,1} = w_1\)，即只买第一个物品。

综合起来取 \(max\) 就好啦！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 3010
#define ll long long

template <class T>
inline void read(T& a){
	T x = 0, s = 1;
	char c = getchar();
	while(!isdigit(c)){ if(c == '-') s = -1; c = getchar(); }
	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + (c ^ '0'); c = getchar(); }
	a = x * s;
	return ;
}

int dp[N][N]; 
int w[N], p[N]; 
int n; 
int ans = 0; 

struct node{
	int w, p; 
	
	bool operator < (const node& a) const{
		return p > a.p; 
	}
} a[N];

int main(){
	read(n);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		read(a[i].w), read(a[i].p); 
	sort(a + 1, a + n + 1); 
	dp[1][1] = a[1].w; 
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		for(int j = 0; j <= i; j++){
			if(j) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-1] + a[i].w- a[i].p * (j - 1));   // 买第 i 个 
			dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j]); 
		}	
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		ans = max(ans, dp[n][i]); 
	cout << ans << endl;
	return 0; 
}