WQS二分 学习笔记

问题引入

前置问题：把长度为 \(n\) 的正整数序列分为若干段，一段代价为这段和的平方加一个常数 \(c\)，求最小代价。

设 \(f_i\) 表示考虑前 \(i\) 个数且最后一段结尾为 \(i\) 的代价，答案为 \(f_n\)，\(f_i=\max_{j=0}^{i-1}\{f_j+(s_i-s_j)^2+c\}\)，可以斜率优化，时间复杂度 \(O(n)\)。

把长度为 \(n\) 的正整数序列分为 \(k\) 段，一段的代价是这段和的平方，求最小代价。

设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数分为 \(j\) 段，且最后一段结尾为 \(i\) 的代价，答案为 \(f_{n,k}\)，同样可以斜率优化做到复杂度 \(O(nk)\)，在 \(k\) 较小的时候已经可以通过了，但是 \(k\) 较大的时候，我们需要更优的算法。

算法思路

发现若不限制段数，这个问题的答案一定是把每个数都分为一段。我们可以通过修改分段的代价，给每一段加上一个额外的代价 \(c\)。

即 \(f'_{i,j}=\max_{k=0}^{i-1}{f'_{k,j-1}+(s_i-s_k)^2+c}\)，也就是说 \(f'_{i,j}=f_{i,j}+jc\)。

直观感觉，\(c\) 越大，分出的段数就越少。我们可以试着通过二分这个 \(c\) 使得 \(f'_{n,x}\) 取得最小值时，\(x\) 恰好等于 \(k\)。这个时候问题等价于前置问题，算出 \(f'_{n}\) 就是 \(f'_{n,k}\)，然后 \(f_{n,k}=f'_{n,k}-kc\)。

WQS 二分又叫 DP 凸优化，可以从几何的角度理解这个算法。

一种理解方式：考虑在平面上有 \(k\) 个点 \((i,f_{n,i})(1\leq i \leq k)\) ，同时相应的有 \((i,f'_{n,i}=f_{n,i}+ic)\) 这 \(k\) 个点，也就是说以 \(c\) 的斜率将原来的 \(k\) 个点拉伸得到一个新的图形。

根据题意观察可以发现一个事实：随着 \(c\) 的增大，这 \(k\) 个点中纵坐标最小的点的横坐标在不断减小，所以感性理解认为这 \(k\) 个点构成下凸壳。

所以我们二分 \(c\) ，直到拉伸得到的图形纵坐标最小的点横坐标为 \(k\) 即可。

如下图，从下向上第 \(2,3\) 个图形都是由原始的凸壳 \(1\) 以不同的 \(c\) 拉伸得到。红色的点横坐标为 \(k\)，在第二个图形里面时为求得的 \(x\)。

另一种理解方式：用斜率为 \(-c\) 的直线交 \((i,f_{n,i})\) 构成的凸壳，设此时的直线为 \(y=-cx+b\)，交点为 \((x,f_{n,x})\)，所以 \(f_{n,x}=-cx+b\)，因此 \(b=f_{n,x}+cx=f'_{n,x}\)。由于满足 \(f'_{n,x}\) ，即 \(b\) 最小，其实就是要求 \(y=-cx+b\) 和凸壳相切。

发现斜率 \(-c\) 越小，切到的点横坐标越小，我们要二分调整切线的斜率 \(-c\) 使得切点横坐标为 \(k\)，也就是 \(b=f'_{n,x}\) 最小时 \(x=k\)。

如图，点 \(C\) 为 \((k,f_{n,k})\)，红色的直线即为所求。

实际上两种方式是差不多的，以 \(c\) 的斜率拉伸后得到的最小纵坐标的点，在拉伸前其实就是斜率 \(-c\) 的直线切凸包得到的切点。

算法流程

首先想办法证明答案关于段数是凸的：一般的方式为打表（考场上的最佳方式）或者结合实际意义。

二分 \(c\)，然后 dp 计算不限段数，每增加一段额外代价为 \(c\) 的最小代价，dp 的同时计算选的段数 \(x\)，直到。

实际实现的时候可能遇到 \((i,f_{n,i})\) 上三点共线，如果 \(k\) 在这条线中间的话，我们无论如何都无法找到一个 \(c\) 使求出的 \(x\) 恰好等于 \(k\)。此时根据我们的算法求得的 \(x\) 是代价最小基础上的最大还是最小段数，对于二分时左右端点的赋值需要分类讨论，注意细节，如果搞错了容易死循环。

在三点共线的情况下，斜率为 \(-c\) 时求出的 \(f'_{n}\) ，使 \(f'_{n}\) 取得最小值时的段数为 \(x\)。此时答案是 \(f'_n -ck\) 而不是 \(f'_n -cx\) ，原因结合 WQS 二分的意义。

应用

用于限制段数，且答案关于段数是凸的 DP 或者一些其他问题（比如最小度限制生成树），可以使用 WQS 二分去掉段数限制。