校际交流模拟总结

前言

又名：校际交流挂分记

由于上次补总结补了一整天多，决定每天及时写总结。

校际交流，但是被本校的人吊打。

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Day 1

总体情况

都是 CF 6月24日 Div1+Div2 的原题，早知道多打点 CF 了。

T1 考场降智没想出来，后面暴力基本上都打了。

60+20+50+20=150，rk3

怎么一回家就会 T1 了啊！

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T1

CF1842C

一眼 DP，只会 $O(n^3)$ ，瞎优化一下变成 $O(n^2)$。

其实再小优化一点就可以 $O(n)$ 了，但是优化的时候有个 sb 错误，没调出来，只能交暴力。

算是比较简单的优化吧，转移的时候记录每种颜色最大值，去掉枚举最大值的 $O(n)$。

Div 2 C 都不会了，废

CODE

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T2

CF1842D

最短路建模题。

最近被差分约束搞晕了，看到这种最短路建模就想放弃。

为什么是图论建模呢？因为输入格式

将 $u$ 和 $v$ 连权值为 $w$ 的无向边，然后可以推出对于每个点 $i$ ，其参会时长不会超过它到点 $n$ 的最短距离。总时长最大就是 $di{s}_1$。

构造：考虑将所有点划分为两个集合 $S$ 和 $T$,$S$ 中为还能参加聚会的点，$T$ 中为已经不能参加聚会的点。初始 $n$ 在 $T$ 中，其他点在 $S$ 中。

每次从 $S$ 中选择一个 $dis$ 最小的点 $x$，让 $S$ 中的所有点都参加一次聚会，时长为 $x$ 的参会时间上限,直到点 $1$ 不在 $S$ 当中。

CODE

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T3

CF1842F

50pts

枚举所选点数 $cnt$，然后树上背包板子，$dp[x][j]$ 表示 $x$ 子树内选 $j$ 个点，子树内所有边对答案的贡献。

$$dp[x][j]=\underset{y\in so{n}_x}{max}(dp[x][j-k]+dp[y][k]+abs(cnt-k-k))$$

然而我太弱了，树上背包调了一个多小时。

100pts

事实上这是 CF 的题，或许不会考这么裸的模板。所以正解是贪心。

绝对值很麻烦，所以用一些神奇的操作把绝对值去掉了。

可以找到树的黑点的重心，即某个点，它的子树内黑点个数的最大值最小，易证重心任一子树内黑点个数不过半，绝对值就去掉了。

然后以重心为根，求出每个点的深度 $dep[i]$ ( $dep[rt]=0$ ).

设 $sz[i]$ 表示以 $i$ 为根子树中黑点的个数，答案为

$$\sum _{i\ne rt}k-2\cdot s{z}_i=k\cdot (n-1)-2\cdot \sum _{i\ne rt}s{z}_i$$

对于每个点会对除了根之外所有的祖先的 $sz$ 产生 1 的贡献，所以化为

$$k\cdot (n-1)-2\cdot \sum _{i\ne rt,co{l}_i=black}de{p}_i$$

要求贡献最大，所以要最小化 $dep[i]$ 的和。

所以贪心地选深度最小的点。

关于重心，直接枚举就行了，如果枚举到非重心，可能导致 $k-2\cdot s{z}_i$ 变负，只会让答案偏小，取 $max$ 后不影响结果。

感觉很巧妙。

时间复杂度 $O(n^2)$。

CODE

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T4

CF1842G

坑+1（悲

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专题讲座-贪心&构造

热身题

CF1804D

贪心（exchange argument）

一篇讲 exchange argument 的博客

例题：

UVA11003

其余例题洛谷上交不了。

构造

例题：

CF1787E（CODE）

构造策略很简单，就是尽量构造 $x$ 单独一组和异或和为 $x$ 的两个数一组，这样可以使组尽可能的多。

感觉正确性证明很难想。

CF1761E（CODE）

分类讨论：

若原图连通答案为 0，

原图有一个连通块不为完全图，答案是 1；

原图连通块个数大于2，答案为2；

原图有两个连通块且都为完全图，答案为较小连通块的大小。

CF1697E

虽然说讲了一些构造题，但是碰到这种人类智慧我大概还是不会做的。

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Day 2

总体情况

寄，非常寄。

感觉一碰到 CF 这种人类智慧题就要寄。

100+40+0+40=180，rk5

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T1

CF1804C

记 $su{m}_i$ 为 $\sum _{i=1}^{n}i$.

易证 $p$ 为奇数时 $su{m}_i\mathrm{mod}n\equiv su{m}_{i+n}\mathrm{mod}n$,

$p$ 为偶数时 $su{m}_i\mathrm{mod}n\equiv su{m}_{i+2\cdot n}\mathrm{mod}n$.

直接枚举 $1$ 到 $min(p,p\mathrm{mod}2n)$ 判断。

CODE

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T2

CF1784C

总觉得 T2 比 T4 难……

我还以为膜你赛 T2 不会出线段树二分这种东西。

题解

看了题解只能感性理解一下，总觉得还有点模糊，不太会用文字表达这个过程。

首先把问题化为把某个前缀变成连续的序列的操作数最小为多少。

手动模拟一下这个过程，或者想象一下，会发现有一些数不用操作，不会产生贡献。

然后贡献就是 $\sum b_i-\frac{m\cdot (m+1)}{2}$,$b_i$ 表示前面要操作的数,$m$ 是当前操作过后的最大值。

记录 $a_i$ 前面要操作的数的和，和 $m$,对于一个 $a_i$ 先强制操作。

如果能找到一个 $p$ 使得操作的数中小于等于 $p$ 的数个数大于 $p$,此时用 $a_i$ 去替换 $p$.

如果找不到就 $m=m+1$，然后 $a_i$ 需要操作到 $m$.

感觉讲不清楚。可能自己并不是很理解。

用权值线段树维护，查询的时候用线段树二分。

CODE

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T3

CF1778D

当时这题三个学校没人会，一看到期望题就直接放弃。

看了题解觉得挺简单的，然而在考场上自己不敢推柿子。

发现答案只与字符串长度和不同的位置数有关。

和 P3750 套路差不多。

教练讲的做法和这篇题解差不多，设 $f_i$ 表示当前 $i$ 个位置不同，操作到 $S=T$ 的次数期望，写出递推式，然后解方程的感觉。

然而更多的题解好像还有更简单的做法。

设 $f_i$ 表示当前 $i$ 个字符不同，操作到 $i-1$ 个字符不同所需要的次数期望。

分类讨论：

若下次改变一个不同的字符，期望为 $1\cdot \frac{i}{n}$,

若下次改变相同的字符，期望为 $(f_{i+1}+f_i)\cdot \frac{n-i}{n}$,

所以 $f_i=\frac{i}{n}+(f_{i+1}+f_i)\cdot \frac{n-i}{n}$,

移项，$f_i=\frac{n+(n-i)\cdot f_{i+1}}{i}$.

然后 $f_n=1$ ，递推计算。

CODE

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T4

CF1804E

结论就是找一个基环树，并且每个非环点都与环有直接连边。

所以可以枚举环上的点的集合，考虑把环拆成链，以编号最小的点为开头。

设 $f_S$ 表示以 S 中编号最小的点为开头，以某些个点作为结尾使 $S$ 中所有点构成一条链，符合这个要求的点的集合,转移。

然后枚举集合，先判断开头是否与某个可行的结尾有连边，再判断非环点是否与环有连边。（全部状压，位运算解决）

判断合法后，对于非环点随便找一个与它右边的环上点，对于环，从开头，枚举可行的末端点，再从这个点继续枚举可行的前一个点，找完整个环。

CODE

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Day 3

相比今天，昨天的寄已经不算什么了。

就是被 T1 坑了，一开始研究 T1 错误样例研究半天，后来搞的扫描线又写挂了，沦为最低档暴力分，并且没有时间想 T4，连分都没骗。（有同学 T4骗分骗了 $60$

20+30+40+0=90，rk12.

T1

T361977

可以把所有的矩形都放到 $d\times d$ 的矩形中，分 4 类，或者说 9 类。

问题转化为给一个 $d\times d$ 的矩阵染色，找到坐标字典序最小的未被染色的点。

我的考场做法：

用扫描线维护染色，找到最小的个 $x_0$ 满足第 $x_0$ 列有点未被染色（即 $seg[x_0].len<d$）。

然后找所有覆盖到 $x_0$ 的矩形，计算最小未被覆盖的 $y_0$。

然而后面找 $y_0$ 的部分写假了，我试图维护染色区间端点，但其实有可能不连续，然后 $100\to 20$，乐。

后来改成树状数组维护 $x_0$ 处 $y$ 的染色，过了。但是代码极其丑陋。

CODE

正解做法前面一样，后面线段树处简单一点。

线段树记录区间最小的被操作次数，如果某个 $x_0$ 处整个区间最小值为 $0$，说明 $x_0$ 合法。

再枚举 $y_0$ ，单点查询。

题解做法代码不想写了……反正比我那个做法好写。

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T2

T361966

显然倒序操作。

考场上被卡的地方是，倒序染色可能需要经过一些已经被染色的点，并不能减少时间复杂度。

发现以 $v$ 为中心，$d$ 为半径染色时，若 $u$ 到 $v$ 距离为 $d^{\prime }$ 则 $u$ 周围与它距离 $\le d-d^{\prime }$ 的点与 $v$ 的距离都 $\le d$ ，会被染色。

记录 $f_i$ 表示当前 $f_i$ 已经被染色的半径，若某次染色中到达 $i$ 的半径为 $d$ ，$d\le f_i$ 则不用继续染色。

每个点最多被搜索到 $20$ 次，时间复杂度 $O(d\cdot n)$。

CODE

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T3

T361968

很妙的一道题。

每行每列看成一个点，每个点所在的行和列之间连边，权值为该点的权值。

然后跑最小生成树，没了。

此时刚好有性质 $(x1,y1),(x2,y1),(x1,y2)$ 均被染黑后，$x1,x2,y1,y2$ 四点联通，刚好等价于免费联通了 $(x2,y2)$，即免费染黑了 $(x2,y2)$ 点。

太神了。

CODE

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T4

T361971

坑+1

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专题讲座-DP优化

最长上升子序列问题

单调队列优化

例题：

P1545

P2034（CODE）

倒着想，选择一些数删掉，距离超过 $k$ 必须删，使删掉的数总合最小。

然后 $d{p}_i=max(d{p}_j)+a_i$ $(i-k-1\le j<i)$,单调队列维护符合条件的最小 $d{p}_j$。

斜率优化

P3195（CODE）

矩阵加速

斐波那契数列（P1962）（CODE）

hdu2294

四边形不等式

坑+1

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Day 4

又是挂大分的一天。

10+0+20+0=30，rk12

T1 博弈题完全不会，T2 $30pts$ 挂的莫名其妙，T3 部分分没时间想，T4 题意搞错调了半天都不对。

我怎么这么蒻啊！

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T1

麻了我真的还是没想明白 T1。

T1 都不会了。

坑+1

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T2

T362783

先讲个笑话：

for(int i=1;i<=18;++i)
	for(int j=1;j<=n;++j)
		f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];

搞了半天才发现自己是怎么寄的……

关键自己造的数据没查出来。太逆天了。

然后正解就是边双缩点，查询路径上的权值和，

所有割边是必经边，其余都不是。用到边双一个性质，边双中任意两点间可以找到至少两条不相交的路径。（感性理解

然后这个缩完的树是有边权也有点权的，边双内如果有边权值为 $1$,它的点权就是 $1$,其他是 $0$，（当然算所有边边权和也可以），算路径的时候要稍微注意一下。

CODE

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T3

T362786

二分答案。

对于 $D=0$ 检验时，每件衣服看成一个桶，若 $a_i\ge mid$ 就 $mid$ 个桶各放一层，若 $a_i<mid$ 就顺着放下去，若能放满，就可行。

对于 $D>0$ ，用平衡树暴力维护即可，然而我不会， 同样是二分答案，然后贪心检验。

然后由于传数据失败而且浪费很多时间，所以坑先放在这。

坑+1

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T4

T362788

是这样的，我想传数据，但是传了三遍都没传上去。

坑+1

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专题讲座-图论问题选讲

今天的专题讲座有点难，码量也大。

坑太多了，直接不填。

图的连通性

边双缩点

例题：

P7924（CODE）

看到不能经过同一条边，显然边双缩点（感性理解，不想证明），然后树上差分求出每个点被走过的次数，次数大于 $0$ 就加上点权。

树上差分：++cnt[x],++cnt[y]; --cnt[lca],--cnt[fa[lca]];

边双的点权是其中所有结点的点权和。

广义圆方树（即所谓的点双缩点）

例题：

P4630

最小生成树

Boruvka

例题：

CF888G

对于异或，容易想到 01 Trie。

$Boruvka$ 的过程找每个集合伸出的最小边，两个点之间边的权值是从他们的 lca 开始往下的路径异或，lca 以上的位都是 0，从 Trie 所以下面往上找 点，然后合并左子树右子树。

过程和 $Boruvka$ 类似，但又有点像 $kruskal$。

kruskal 重构树

（自己找的）例题：

P2245

首先要最大值最小，就是建立最小生成树，每次查路径上的最大值。

更好的做法：建立 kruskal 重构树，点权设为合并集合时的边权，每次查询如果不在一个集合就是 impossible ，否则答案为他们 lca 的点权。

欧拉回路

可能还有一些，记不得了。例题也记的不全。

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Day 5

总体情况

第一次发成绩，T2 没加 SPJ。

第二次发成绩，T1 没有忽略换行和空格。

好评测。

80+70+30+50=230，rk3

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T1

sqc：像这种题目我们开场 10min 就切掉了。

然而我 4h 都不会。

正解是建图跑 $dijkstra$。我考试时候想的是：虽然有点像但这绝对不是图论

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T2

30pts

暴力枚举 $x,y$ 找，找到就退出，找不到就 $-1$。

期望得分 $30pts$，实际得分 $70pts$。乱搞可以 $100pts$。

100pts

没有课件，忘了（麻

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T3

发现血量可能触底就是最小子段和末尾导致血量减到 $0$ 或以下，而最小子段和前面一定是满血（如果不是那最小子段和可以继续往前扩）。

中间如果会用到锁血，就是最小子段和小于等于 $\lceil \frac{x}{10}\rceil$ ，判断一下锁血后是会寄，还是有剩余血量（剩余血量为 $x$ 加上最小后缀和）。

如果不用锁血，直接用 $x$ 加上全数列最小子段和判断就行了。

有修改操作，所以用线段树维护最小子段和。

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T4

20pts

枚举排列和集合，统计。

50pts

枚举排列长度 $n$，枚举集合大小 $sz$,$f_i=\sum _{sz=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{sz})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-sz}{sz})\cdot (sz)!\cdot (n-sz)!$

$O(n^2)$ 计算 $f$，$g$ 就是前缀和。

100pts

打表发现 $f_i=fi{b}_i\times n!$（bushi

可以推出来，但我忘了怎么推了……老师也没发题解课件……

然后这个废物懒得传题传数据，也没有数据所以就不写订正代码了。

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专题讲座-树和图问题选讲

例题大多是 gym 上的，不想写（bushi

要补的知识点：树哈希

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Day 6

总体情况

30+0+60+60=150，rk1

虽然 T1 挂惨 T2 不会，但是大家似乎都 T1 挂惨，然后 T3 写的 $50pts$ 部分分反挂成 $60pts$，然后 T4 用一些特判加上 $15s$ 的时限，水到了 $60pts$.

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T1

打表，发现 $AAAAAAA\dots AB$ 的答案就是斐波那契数列,$A\dots ABA\dots AB\dots$ 划分为若干个 $A\dots AB$，通过一些斐波那契数相乘得到。

然后这个废物就直接从大往小枚举斐波那契数，完全忘了字典序是先比较长度的。直接寄成 $30pts$ ，警钟敲烂。

upd：讲题的时候发现我写的贪心是可以让长度尽量小，但是有另外一些问题。

有可能除掉了大数，导致小数没有办法继续分解，其实是可以分解成若干个小的数的。

主要是和分解质因数搞混了，没反应过来。警钟敲烂。

正解就是用 dfs 从大数往小搜索。

upd：字典序好像并不是先比较长度，是如果前面全都一样才比较长度……

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T2

是一个博弈论的 dp，我完全不会。

这几天必须填的一个坑，不然考到就寄。

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T3

注意到洞的数量很少。神奇数字 $42$。

对于每一个洞，以它的上下左右四个点各搜一遍到每个点的最短距离。

然后对于询问，如果区域内无洞，就直接输出曼哈顿距离。

如果有洞，那一定不能经过洞。显然如果原最短路经过洞，考虑洞的最短路应该绕过洞。

所以枚举所有洞周围的点，对于每个这样的点到起点和终点的距离和取 $min$ ，答案若是 $\mathrm{\infty }$ 就输出 $-1$。

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T4

对于 $l=1$ 的部分分，可以用线段树维护要求，具体就是每加入一个人，把区间包含那个位置的 $k$ 减一，如果有某个 $k=0$ ，就可以继续加。

对于 $r-l\ge \lceil \frac{n}{2}\rceil$ ,每个区间必然经过中点，可以从中点处把区间分成两段，剩余做法同第一种部分分。

用同样的方法，每次分成过中点的，不过中点的，一直这样分治下去，用线段树维护。

代码极其（），感觉写不起来。

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专题讲座-杂题选讲

（能在洛谷上交的）例题：

P6908（CODE）

一个贪心。

前置芝士：$O(n)$ 判断一个字符串是否是另外一个的子序列。

然后按长度排序，一个一个加入。记两组为 $A$,$B$，再加一个存放特殊情况的组 $C$。

如果加入的 $s_i$ 只能放在 $A$ 后面或者 $B$ 后面，就直接放，然后把 $C$ 全放到另外一组，清空 $C$。

否则先放到一个 $C$ 后面，如果能放就放，如果不能放，就把原 $C$ 中的和这个串分别加到 $A$,$B$ 中。

最后别忘了随便将 $C$ 中剩余的加入 $A$ 或 $B$。

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后寄

又是一堆填不完的坑qaq

这边刚写完，nfls 的集训又要开始了……

寄。

这几天模拟总分 800，排名是并列的 rk4。

最高分 900，sto dbw orz

发现自己有一堆东西不会，比如博弈题。

就这样先结束吧，后面可能会不定期的随机地填一些坑。

滚去一个新的地方被吊打了。