[基础数论]同余方程笔记

前言

在学习本节内容前，请确保已完成了二元不定方程的学习。

同余方程

有无解的判别

对于一个方程形如：

\[ax \equiv b \pmod m \]

其中

\[a,b \in \mathbb Z , m \in \mathbb Z^+ \]

并令

\[d=(a,m) \]

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若
\(d \nmid b\) ，

则方程
\(ax \equiv b \pmod m\)
无解。

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若
\(d \mid b\) ，

则方程
\(ax \equiv b \pmod m\)
恰有 \(d\) 个模 \(m\) 不同余的解。

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证明

线性同余方程 \(ax \equiv b \pmod m\) 等价于二元不定方程 \(ax - my = b\).

整数 \(x\) 是方程的解，当且仅当存在整数 \(y\) 使得 \(ax - my = b\).

由上篇二元一次不定方程的学习，我们可知：若 \(d \nmid b\) ，则无解；而 \(d \mid b\) 时，则有无穷多解。

且方程 \(ax - my = b\) 的解： \(x=x_0 + (m/d)t , y = y_0 + (a/d)t\)。

为确定有多少不同余的解，我们来找一下当

\[x_1 = x_0 + (m/d)t_1 \]

和

\[x_2 = x_0 + (m/d)t_2 \]

这两个解同余的条件。

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\[x_1 \equiv x_2 \pmod m \]

\[x_0 + (m/d)t_1 \equiv x_0 + (m/d)t_2 \pmod m \]

\[(m/d)t_1 \equiv (m/d)t_2 \pmod m \]

由二元一次不定方程的定理5可得：

\[t_1 \equiv t_2 \pmod d \]

这表明只要我们将 \(t\) 取 \(0,1,2,…,d-1\) , 就可以得到不同余的全部解（共 \(d\) 个模 \(m\) 不同余的解）。

• 推论 ：

若

\[a,b \in \mathbb Z,m \in \mathbb Z^+,(a,m)=1 \]

则对于同余方程

\[ax \equiv b \pmod m \]

恰有 \(1\) 个模 \(m\) 不同余的解。