最优风险资产组合

假设手头有100美元，现在有三个投资项目，项目A为无风险债券，收益率为10%，项目B收益率20%，收益单位美元方差为4（如果投资n美元，方差为n×n×4），项目C收益率30%，收益单位美元方差为9（如果投资n美元，方差为n×n×9）。现在有两种投资组合：

组合1为，投资项目A 50美元，投资项目B 25美元，投资项目C 25美元。

组合2为，投资项目A 65.14美元，投资项目B 5美元，投资项目C 29.86美元。

组合1的期望收益为50×1.1+25×1.2+25×1.3=117.5美元，方差为25×25×4+25×25×9=8125。

组合2的期望收益为65.14×1.1+5×1.2+29.86×1.3=116.47美元，方差为5×5×4+29.86×29.86×9=8124.6。

可以看出，这两种投资组合方差是基本相同的，也就是投资风险相同，但是组合1的期望收益117.5美元大于组合2的期望收益116.47美元，对于投资者来说很明显要选组合1进行投资。这里想说明的问题是同样的本金，投资组合的不同会导致不同的收益率和风险，也会导致相同的收益率不同的风险或相同的风险不同的收益率。在相同的风险条件下我们应该找出最优收益率的投资组合，这就转化成求极值的问题了，可以用求导来解决。

我们根据一定的收益率可以计算出最小方差的组合，如下图所示，横轴为投资风险（方差），纵轴为投资期望收益率，途中曲线被称为最小方差边界，也就是在一定收益率下投资组合产生的最小方差。在虚线以上是有效边界。为什么称为有效边界呢？因为在同样的方差值下理性的投资者当然会选择收益率高的投资组合。投资者也不会选择在曲线以内的点作为投资组合，因为在同样的方差下，曲线的有效边界上的点会产生更大的收益率。所以投资者只会在有效边界上根据风险和收益权衡选择投资组合。

图片来源自博迪投资学（中文第九版）