高斯分布1

  高斯分布也称为正态分布，一元高斯分布可以写成如下形式：
      $\mathscr N(x|u,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp{\{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\}}$

高斯分布的均值是$\mu$、方差是$\sigma^2$,其函数图像是中间高两头低的关于均值$\mu$对称。高斯分布概率密度图像如下所示：

def norm_pdf(x, mu, sigma2): return 1 / np.sqrt(2 * np.pi * sigma2) * np.exp(-(x - mu)**2 / (2 * sigma2))
xrange = np.linspace(-4, 4, 100)
plt.plot(xrange, norm_pdf(xrange, 0, 1), label=r"$\mu=0; \ \sigma^2=1$")
plt.plot(xrange, norm_pdf(xrange, 0, 2), label=r"$\mu=1; \ \sigma^2=2$")
plt.plot(xrange, norm_pdf(xrange, 0, 3), label=r"$\mu=-1; \ \sigma^2=3$")
plt.legend(fontsize=15)

一元高斯分布的均值和方差证明如下：

【参考】
https://proofwiki.org/wiki/Integral_to_Infinity_of_Exponential_of_-t^2