矩阵的运算

矩阵加法，满足结合律和交换律即
结合律： \(A + (B + C) = (A + B) + C\)
交换律： \(A + B = B + A\)
矩阵乘法，满足结合律，但不适合交换律
结合律： \(A (BC) = (A B) C\)
但是一般 \(AB \neq BA\)

矩阵乘积的行列式与秩
定理1 设 A，B 是数域P上的两个\(n\times n\)矩阵，那么\(|AB|=|A||B|\)， 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积。
定义 数域P上的\(n\times n\)矩阵A是非退化的，如果\(|A|\neq 0\)；否则称为退化的

定理2 设设 A是数域P上的\(n\times m\)矩阵，B是数域P上的\(m\times s\)矩阵，于是
秩(AB) <= min[秩(A)， 秩(B)]
即乘积的秩不超过各个因子的秩。

定义 n级方正A称为可逆的，如果有n级方正B，使得\(AB=BA=E\)

定义 如果矩阵B满足上个定义，那么B就称为A的可逆矩阵，记作\(A^{-1}\)

定义 设\(A_{ij}\)是矩阵
      \( \begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}}\\ \end{pmatrix} \)
中元素\(a_{ij}\)的代数余子式，矩阵
      $A^* = $ \(\begin{pmatrix} {A_{11}}&{A_{12}}&{\cdots}&{A_{1n}}\\ {A_{21}}&{A_{22}}&{\cdots}&{A_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {A_{n1}}&{A_{n2}}&{\cdots}&{A_{nn}}\\ \end{pmatrix} \)
称为A的伴随矩阵。
由行列式按一行或者列进行展开，立即得到
      $AA^* = A^*A = $ \(\begin{pmatrix} {d}&{0}&{\cdots}&{0}\\ {0}&{d}&{\cdots}&{0}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {0}&{0}&{\cdots}&{d}\\ \end{pmatrix} \) = \(dE\)
其中\(d=|A|\)

  如果\(d=|A|\neq 0\)，那么可以得到
      \(A(\frac{1}{d}A^*) = (\frac{1}{d}A^*)A = E\)

定理 矩阵A是可逆的充分必要条件是A是非退化的，而且
      \(A^{-1} = \frac{1}{d} A^{*}, (d=|A|\neq 0)\)

推论 如果矩阵A，B可逆，那么\(A', AB\)也可逆，且
      \((A')^{-1} = (A^{-1})'\)
      \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)