线性变换的矩阵
设V是数域P上的n维线性空间，\(\epsilon_1, \epsilon_2,...,\epsilon_n\)是V的一组基，现在我们来建立线性变换与矩阵的关系。
空间V中的任意向量\(\xi\)可用被基\(\epsilon_1, \epsilon_2,...,\epsilon_n\)线性表示，即有表达式
\(\xi = x_1\epsilon_1+x_2\epsilon_2,...+x_n\epsilon_n\)
其中系数是唯一确定的，它们就是\(\xi\)在这组基下的坐标。由于线性变换保持线性关系不变，因而\(\xi\)的像\(\mathscr A \xi\)与基的像\(\mathscr A\epsilon_1, \mathscr A\epsilon_2,...,\mathscr A\epsilon_n\)之间也必然有相同的关系即
\(\mathscr A \xi = x_1\mathscr A\epsilon_1 + x_2\mathscr A\epsilon_2 +...+x_n\mathscr A\epsilon_n\)
上式表明，如果我们知道了基\(\epsilon_1, \epsilon_2,...,\epsilon_n\)的像，那么线性空间任意一个向量\(\xi\)的像也就知道了。
- \(\epsilon_1, \epsilon_2,...,\epsilon_n\)是线性空间V的一组基，如果线性变换\(\mathscr A\)与\(\mathscr B\)在这组基上的作用相同，即 \(\mathscr A \epsilon_i = \mathscr B\epsilon_i, i=1,2,...,n\),那么\(\mathscr A = \mathscr B\)
【注】结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定
- \(\epsilon_1, \epsilon_2,...,\epsilon_n\)是线性空间V的一组基，对于任意一组向量\(\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_n\),一定有一个线性变换\(\mathscr A\)使得
\(\mathscr A\epsilon_i = \alpha_i, i =1,2,...,n\)
【注】结论2的意义就是，对于线性空间V的一组基，可以找到线性变换\(\mathscr A\)使得基在这个线性变换下的像是V中的任意一向量。
定理 1 设\(\epsilon_1, \epsilon_2,...,\epsilon_n\)是线性空间V的一组基，对于任意一组向量\(\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_n\)，存在唯一的线性变换\(\mathscr A\)使得
\(\mathscr A\epsilon_i = \alpha_i, i =1,2,...,n\)
有了上述讨论，我们就可以建立线性变换与矩阵的联系。
定义 设\(\epsilon_1, \epsilon_2,...,\epsilon_n\)是数域P上n维线性空间V的一组基，\(\mathscr A\)是V中的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表示：
\( \begin{cases} \mathscr A \epsilon_1 = a_{11}\epsilon_1 + a_{21}\epsilon_2 + ... + a_{n1}\epsilon_n \\ \mathscr A \epsilon_2 = a_{12}\epsilon_1 + a_{22}\epsilon_2 + ... + a_{n2}\epsilon_n\\ ...\\ \mathscr A \epsilon_n = a_{1n}\epsilon_1 + a_{2n}\epsilon_2 + ... + a_{nn}\epsilon_n\\ \end{cases} \)
用矩阵表示就是
\(\mathscr A (\epsilon_1,\epsilon_2,...,\epsilon_n) = (\mathscr A \epsilon_1, \mathscr A \epsilon_2, ..., \mathscr A \epsilon_n) = (\epsilon_1,\epsilon_2,...,\epsilon_n) A\)
其中，
\(A\) = \(\begin{bmatrix}
{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\
{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\
{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\
{a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}\\
\end{bmatrix}
\)
矩阵A称为\(\mathscr A\)在基\(\epsilon_1, \epsilon_2,...,\epsilon_n\)下的矩阵。
定理2 设\(\epsilon_1, \epsilon_2,...,\epsilon_n\)是数域P上n维线性空间V的一组基，在这组基下，每个线性变换按照上述定义对应一个\(n\times n\)矩阵。这个对应具有以下的性质
- 线性变换的和对应于矩阵的和
- 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积
- 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积
- 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于你矩阵
定理3 设线性变换\(\mathscr A\)在基\(\epsilon_1, \epsilon_2,...,\epsilon_n\)下的矩阵是A，向量\(\xi\)在这组基下的坐标是\((x_1, x_2, ..., x_n)\)，则\(\mathscr A \xi\)在这组基下的坐标\((y_1, y_2, ..., y_n)\)可以按如下公式计算
\(\begin{pmatrix}
y_1\\
y_2\\
\vdots\\
y_n\\
\end{pmatrix}
\) = \(A\) \(\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n\\
\end{pmatrix}
\)
定理4 设线性空间V中线性变换在两组基
\(\epsilon_1, \epsilon_2,...,\epsilon_n\)
\(\eta_1, \eta_2,...,\eta_n\)
下的矩阵分别是A和B，从第一组基到第二组基的过渡矩阵是X，于是有\(B = X^{-1}AX\)
定义 设A，B是数域P上的两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得\(B = X^{-1}AX\),就说A相似与B，记作\(A \sim B\)
定理5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的。反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。
参考
【1】
