线性变换的运算

在这一节，我们来介绍线性变换的运算及其简单性质

乘法

  设\(\mathscr {A,B}\)是线性空间V上的两个线性变换，定义它们的乘积\(\mathscr {AB}\)为
      \((\mathscr {AB})(\pmb \alpha)=\mathscr A(\mathscr B (\pmb \alpha)), (\pmb \alpha \in V)\).

容易证明，线性变换的乘积也是线性变换。

      \((\mathscr {AB})(\pmb \alpha + \pmb \beta) = \mathscr A(\mathscr B (\pmb \alpha + \pmb \beta)) = \mathscr A(\mathscr B (\pmb \alpha) + \mathscr B (\pmb \beta) ) = \mathscr A(\mathscr B (\pmb \alpha)) + \mathscr A(\mathscr B (\pmb \beta)) = (\mathscr {AB})(\pmb \alpha ) + (\mathscr {AB})(\pmb \beta)\)

      \((\mathscr {AB})(k\pmb \alpha) = \mathscr A(\mathscr B (k\pmb \alpha)) = \mathscr A(k\mathscr B (\pmb \alpha)) = k\mathscr A(\mathscr B (\pmb \alpha)) = k(\mathscr {AB})(\pmb \alpha)\)

  线性变换的乘法适合结合律，即
  \((\mathscr {AB}) \mathscr C = \mathscr A (\mathscr {BC})\)

但是线性变换的乘法一般是不可交换的

加法

  设\(\mathscr {A,B}\)是线性空间V上的两个线性变换，定义它们的和\(\mathscr {A+B}\)为：
\((\mathscr {A+B})(\pmb \alpha)=\mathscr A(\pmb \alpha) + \mathscr B(\pmb \alpha), (\pmb \alpha \in V)\).

按照线性变换的定义和线性变换加法的定义，很容易证明线性变换的和也是线性变换。

数量乘法

数域中的每个数k都决定了一个数乘变换\(\mathscr K\)，利用线性变换的乘法，可以定义数域P中的数与线性变换的数量乘法为

      \(k\mathscr A = \mathscr{KA}\)
对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法和数量乘法这三种运算，由加法与数量乘法的性质可知，线性空间V上全体线性变换，对于如上定义得加法与数量乘法，也构成数域P上的一个线性空间。

逆变换

  V的变换是可逆的，如果有V的变换\(\mathscr B\)存在，使得
      \(\mathscr {AB} = \mathscr {BA} = \mathscr {E}\)
这时，变换\(\mathscr {B}\)为\(\mathscr {A}\)的逆变换，记为\(\mathscr {A^{-1}}\).依据线性变换的定义和逆变换的定义，很容易推导出逆变换也是线性变换。

线性变换多项式

  既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换\(\mathscr A\)重复相乘时，其最终的结果是完全确定的，与乘积的结合方法无关。因此，当n个（n是正整数）线性变换\(\mathscr A\)相乘时，我们就可用\(\mathscr A^{n}\)表示，此外作为定义\(\mathscr A^{0}=\mathscr{E}\).
根据线性变换幂的定义，可用推出指数法则：
      \(\mathscr A^{m+n} = \mathscr A^{m}\mathscr A^{n}, (\mathscr A^m)^n = \mathscr A^{mn} (m,n > 0)\)
      \(\mathscr A^{-n} = (\mathscr A^{-1})^n (n 是正整数)\)

设
      \(f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_0\)
是P[x]中一多项式，\(\mathscr A\)是V的一线性变换，我们定义
      \(f(\mathscr A)=a_m\mathscr A^{m}+a_{m-1}\mathscr A^{m-1}+...+a_0\mathscr E\)
同样可用证明\(f(\mathscr A)\)是一线性变换，它称为线性变换\(\mathscr A\)的多项式。