线性变换的定义

  线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象。我们认识客观事物，固然要弄清楚他们单个的和总体的性质，但更重要的是研究他们之间的各种各样的联系。在线性空间中，事物之间的联系就反映为线性空间的映射。线性空间V到自身的映射通常称为V的一个变换。这一章中要讨论的线性变换是最简单的，同时也可以认为是最基本的一种变换，正如线性函数是最简单和最基本的函数一样，线性变换是线性代数的一个主要研究对象。

  定义1 线性空间V的一个变换 \(\mathscr{A}\)称为线性变换，如果对于V中的任意元素 \(\pmb {\alpha}, \pmb{\beta}\)和数域P中任意数k, 都有
      \(\mathscr{A}(\pmb{\alpha}+\pmb{\beta}) = \mathscr{A}\pmb{\alpha} + \mathscr{A}\pmb{\beta},\)
      \(\mathscr{A}(k\pmb{\alpha})=k\mathscr{A}(\pmb{\alpha}).\)
  以后我们一般用花体拉丁字母\(\mathscr{A, B, ...}\)代表V的变换，\(\mathscr A(\pmb{\alpha})\)或者\(\mathscr A\pmb{\alpha}\)代表元素\(\pmb \alpha\)在变换\(\mathscr{A}\)下的像.
  定义1所表示的性质，有时也可以说成线性变换保持向量加法与数量乘法。

对上述表达进行理解或翻译

• 定义：和之像，等于像之和；倍数之像，等于像之倍数
• 保持向量加法：设任意向量\(\pmb{\alpha} = x_1\pmb\epsilon_1+x_2\pmb\epsilon_2+...+x_n\pmb\epsilon_n\), \(\mathscr A\pmb{\alpha}，\mathscr A\pmb\epsilon_1，\mathscr A\pmb\epsilon_n\)是前面提到线性空间中向量在变换\(\mathscr A\)下的像，也保持了和上述一样的线性关系即\(\mathscr A\pmb{\alpha} = x_1\mathscr A\pmb\epsilon_1+x_2\mathscr A\pmb\epsilon_2+...+x_n\mathscr A\pmb\epsilon_n\)
• 变换没有改变这种线性关系的传递，所以才称之为线性变换

  例1 平面上的向量构成实数域上的二维线性空间。把平面围绕坐标原点按逆时针放心旋转\(\theta\)角度，就是一个线性变换。平面上向量\(\pmb \alpha\)在直角坐标系下的坐标是\((x,y)\), 那么它的像即\(\pmb \alpha\)在旋转\(\theta\)角度的坐标\((x', y')\)为

      \(\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\theta&-sin\theta \\ sin\theta&cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)

  例2 设\(\pmb \alpha\)为几何空间中一个固定非零向量，把每个向量\(\zeta\)变到它在\(\pmb \alpha\)上的内射影的变换也是一个线性变换，用公式表示为\(\mathscr A\pmb\zeta = \frac{(\pmb \alpha, \pmb \zeta)}{(\pmb \alpha, \pmb \alpha)}\pmb \alpha\)

附录

例1证明

  简单推导平面坐标系旋转变换公式：设P，Q为半径为r的圆上2个点，坐标分别为\((x,y), (x',y')\)，\(\alpha\)为向量OP与x轴的夹角，\(\theta\)为向量OP与向量OQ之间的夹角。因此得到如下等式
      \(x=rcos(\alpha)\)
      \(y=rsin(\alpha)\)
      \(x'=rcos(\alpha+\theta)\)
      \(y'=rsin(\alpha+\theta)\)
由最后两个等式右侧三角函数拆分得
      \(x'=rcos(\alpha+\theta) = r(cos\alpha cos\theta - sin\alpha sin\theta) = xcos\theta - ysin\theta\)
      \(y'=rsin(\alpha+\theta) = r(sin\alpha cos\theta + cos\alpha sin\theta) = ycos\theta + xsin\theta\)
从而求得
      \(x'= xcos\theta - ysin\theta\)
      \(y'= ycos\theta + xsin\theta\)
即
      \(\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\theta&-sin\theta \\ sin\theta&cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)

证明：设直角坐标系上任意两个点\(P(x_p, y_p), Q(x_q,y_q)\)，旋转直角坐标系角度\(\theta\)后得到的两个对应点是\(P'(x_p^{'}, y_p^{'}),Q'(x_q^{'}, y_q^{'})\)。由旋转变换可得
      \(\begin{pmatrix} x_p^{'} \\ y_p^{'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\theta&-sin\theta \\ sin\theta&cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_p \\ y_p \end{pmatrix}\)
      \(\begin{pmatrix} x_q^{'} \\ y_q^{'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\theta&-sin\theta \\ sin\theta&cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_q \\ y_q \end{pmatrix}\)
由矩阵运算性质可得
      \(\begin{pmatrix} x_p^{'}+x_q^{'} \\ y_p^{'}+y_q^{'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\theta&-sin\theta \\ sin\theta&cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_p+x_q \\ y_p+y_q \end{pmatrix}\)
即满足保持线性变换定义1中 \(\mathscr{A}(\pmb{\alpha}+\pmb{\beta}) = \mathscr{A}\pmb{\alpha} + \mathscr{A}\pmb{\beta}\)；
      \(k\begin{pmatrix} x_p^{'} \\ y_p^{'} \end{pmatrix} = k\begin{pmatrix} cos\theta&-sin\theta \\ sin\theta&cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_p \\ y_p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\theta&-sin\theta \\ sin\theta&cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} kx_p \\ ky_p \end{pmatrix}\)
即满足线性变换定义1中\(\mathscr{A}(k\pmb{\alpha})=k\mathscr{A}(\pmb{\alpha})\)
因此直角坐标系上的旋转变换是线性变换。

例2证明

设\(\zeta, \eta\)为几何空间中任意的两个向量，由内射影定义可知
\(\mathscr A\pmb\zeta = \frac{(\pmb \alpha, \pmb \zeta)}{(\pmb \alpha, \pmb \alpha)}\pmb \alpha,\)
\(\mathscr A\pmb\eta = \frac{(\pmb \alpha, \pmb \eta)}{(\pmb \alpha, \pmb \alpha)}\pmb \alpha\)
由内积性质可得：\(\mathscr A\pmb\zeta + \mathscr A\pmb\eta = \frac{(\pmb \alpha, \pmb \zeta)}{(\pmb \alpha, \pmb \alpha)}\pmb \alpha + \frac{(\pmb \alpha, \pmb \eta)}{(\pmb \alpha, \pmb \alpha)}\pmb \alpha = \frac{(\pmb \alpha, \pmb \zeta) + (\pmb \alpha, \pmb \eta)}{(\pmb \alpha, \pmb \alpha)}\pmb \alpha = \frac{(\pmb \alpha, \pmb \zeta + \pmb \eta )}{(\pmb \alpha, \pmb \alpha)}\pmb \alpha = \mathscr A \pmb{(\zeta+\eta)}\)
满足线性变换定义1中第1条；
$k\mathscr A\pmb\zeta = k\frac{(\pmb \alpha, \pmb \zeta)}{(\pmb \alpha, \pmb \alpha)}\pmb \alpha = \frac{k(\pmb \alpha, \pmb \zeta)}{(\pmb \alpha, \pmb \alpha)}\pmb \alpha = \frac{(\pmb \alpha, \pmb k\zeta)}{(\pmb \alpha, \pmb \alpha)}\pmb \alpha = \mathscr A k\pmb \zeta $
满足线性变换定义1中第2条；因此内射影变换也是一个线性变换。

参考

【1】高等代数 北京大学数学系前代数小组 王萼芳 石生明