寻找丑数
题目：我们把只包含因子
2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含因子7。习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第1500个丑数。
分析：这是一道在网络上广为流传的面试题，据说google曾经采用过这道题。
所谓一个数m是另一个数n的因子，是指n能被m整除，也就是n % m == 0。根据丑数的定义，丑数只能被2、3和5整除。也就是说如果一个数如果它能被2整除，我们把它连续除以2；如果能被3整除，就连续除以3；如果能被5整除，就除以连续5。如果最后我们得到的是1，那么这个数就是丑数，否则不是。
基于前面的分析，我们可以写出如下的函数来判断一个数是不是丑数：
1 bool IsUgly(int number) 2 { 3 while(number % 2 == 0) 4 number /= 2; 5 while(number % 3 == 0) 6 number /= 3; 7 while(number % 5 == 0) 8 number /= 5; 9 10 return (number == 1) ? true : false; 11 }
接下来，我们只需要按顺序判断每一个整数是不是丑数，即：
1 int GetUglyNumber_Solution1(int index) 2 { 3 if(index <= 0) 4 return 0; 5 6 int number = 0; 7 int uglyFound = 0; 8 while(uglyFound < index) 9 { 10 ++number; 11 12 if(IsUgly(number)) 13 { 14 ++uglyFound; 15 } 16 } 17 18 return number; 19 }
我们只需要在函数GetUglyNumber_Solution1中传入参数1500，就能得到第1500个丑数。该算法非常直观，代码也非常简洁，但最大的问题我们每个整数都需要计算。即使一个数字不是丑数，我们还是需要对它做求余数和除法操作。因此该算法的时间效率不是很高。
接下来我们换一种思路来分析这个问题，试图只计算丑数，而不在非丑数的整数上花费时间。根据丑数的定义，丑数应该是另一个丑数乘以2、3或者5的结果（1除外）。因此我们可以创建一个数组，里面的数字是排好序的丑数。里面的每一个丑数是前面的丑数乘以2、3或者5得到的。
这种思路的关键在于怎样确保数组里面的丑数是排好序的。我们假设数组中已经有若干个丑数，排好序后存在数组中。我们把现有的最大丑数记做M。现在我们来生成下一个丑数，该丑数肯定是前面某一个丑数乘以2、3或者5的结果。我们首先考虑把已有的每个丑数乘以2。在乘以2的时候，能得到若干个结果小于或等于M的。由于我们是按照顺序生成的，小于或者等于M肯定已经在数组中了，我们不需再次考虑；我们还会得到若干个大于M的结果，但我们只需要第一个大于M的结果，因为我们希望丑数是按从小到大顺序生成的，其他更大的结果我们以后再说。我们把得到的第一个乘以2后大于M的结果，记为M2。同样我们把已有的每一个丑数乘以3和5，能得到第一个大于M的结果M3和M5。那么下一个丑数应该是M2、M3和M5三个数的最小者。
前面我们分析的时候，提到把已有的每个丑数分别都乘以2、3和5，事实上是不需要的，因为已有的丑数是按顺序存在数组中的。对乘以2而言，肯定存在某一个丑数T2，排在它之前的每一个丑数乘以2得到的结果都会小于已有最大的丑数，在它之后的每一个丑数乘以2得到的结果都会太大。我们只需要记下这个丑数的位置，同时每次生成新的丑数的时候，去更新这个T2。对乘以3和5而言，存在着同样的T3和T5。
有了这些分析，我们不难写出如下的代码：
1 int GetUglyNumber_Solution2(int index) 2 { 3 if(index <= 0) 4 return 0; 5 6 int *pUglyNumbers = new int[index]; 7 pUglyNumbers[0] = 1; 8 int nextUglyIndex = 1; 9 10 int *pMultiply2 = pUglyNumbers; 11 int *pMultiply3 = pUglyNumbers; 12 int *pMultiply5 = pUglyNumbers; 13 14 while(nextUglyIndex < index) 15 { 16 int min = Min(*pMultiply2 * 2, *pMultiply3 * 3, *pMultiply5 * 5); 17 pUglyNumbers[nextUglyIndex] = min; 18 19 while(*pMultiply2 * 2 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex]) 20 ++pMultiply2; 21 while(*pMultiply3 * 3 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex]) 22 ++pMultiply3; 23 while(*pMultiply5 * 5 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex]) 24 ++pMultiply5; 25 26 ++nextUglyIndex; 27 } 28 29 int ugly = pUglyNumbers[nextUglyIndex - 1]; 30 delete[] pUglyNumbers; 31 return ugly; 32 } 33 34 int Min(int number1, int number2, int number3) 35 { 36 int min = (number1 < number2) ? number1 : number2; 37 min = (min < number3) ? min : number3; 38 39 return min; 40 }
和第一种思路相比，这种算法不需要在非丑数的整数上做任何计算，因此时间复杂度要低很多。感兴趣的读者可以分别统计两个函数GetUglyNumber_Solution1(1500)和GetUglyNumber_Solution2(1500)的运行时间。当然我们也要指出，第二种算法由于要保存已经生成的丑数，因此需要一个数组，从而需要额外的内存。第一种算法是没有这样的内存开销的。
以上转自何海涛博客
