O(logn)求Fibonacci数列
题目：定义Fibonacci数列如下：
/ 0 n=0
f(n)= 1 n=1
\ f(n-1)+f(n-2) n=2
输入n，用最快的方法求该数列的第n项。
分析：在很多C语言教科书中讲到递归函数的时候，都会用Fibonacci作为例子。因此很多程序员对这道题的递归解法非常熟悉，看到题目就能写出如下的递归求解的代码。
1 /////////////////////////////////////////////////////////////////////// 2 // Calculate the nth item of Fibonacci Series recursively 3 /////////////////////////////////////////////////////////////////////// 4 long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n) 5 { 6 int result[2] = {0, 1}; 7 if(n < 2) 8 return result[n]; 9 10 return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2); 11 }
但是，教科书上反复用这个题目来讲解递归函数，并不能说明递归解法最适合这道题目。我们以求解f(10)作为例子来分析递归求解的过程。要求得f(10)，需要求得f(9)和f(8)。同样，要求得f(9)，要先求得f(8)和f(7)……我们用树形结构来表示这种依赖关系
f(10)
/ \
f(9) f(8)
/ \ / \
f(8) f(7) f(7) f(6)
/ \ / \
f(7) f(6) f(6) f(5)
我们不难发现在这棵树中有很多结点会重复的，而且重复的结点数会随着n的增大而急剧增加。这意味这计算量会随着n的增大而急剧增大。事实上，用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数的方式递增的。大家可以求Fibonacci的第100项试试，感受一下这样递归会慢到什么程度。在我的机器上，连续运行了一个多小时也没有出来结果。
其实改进的方法并不复杂。上述方法之所以慢是因为重复的计算太多，只要避免重复计算就行了。比如我们可以把已经得到的数列中间项保存起来，如果下次需要计算的时候我们先查找一下，如果前面已经计算过了就不用再次计算了。
更简单的办法是从下往上计算，首先根据f(0)和f(1)算出f(2)，在根据f(1)和f(2)算出f(3)……依此类推就可以算出第n项了。很容易理解，这种思路的时间复杂度是O(n)。
1 /////////////////////////////////////////////////////////////////////// 2 // Calculate the nth item of Fibonacci Series iteratively 3 /////////////////////////////////////////////////////////////////////// 4 long long Fibonacci_Solution2(unsigned n) 5 { 6 int result[2] = {0, 1}; 7 if(n < 2) 8 return result[n]; 9 10 long long fibNMinusOne = 1; 11 long long fibNMinusTwo = 0; 12 long long fibN = 0; 13 for(unsigned int i = 2; i <= n; ++ i) 14 { 15 fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo; 16 17 fibNMinusTwo = fibNMinusOne; 18 fibNMinusOne = fibN; 19 } 20 21 return fibN; 22 }
这还不是最快的方法。下面介绍一种时间复杂度是O(logn)的方法。在介绍这种方法之前，先介绍一个数学公式：
{f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}n-1
(注：{f(n+1), f(n), f(n), f(n-1)}表示一个矩阵。在矩阵中第一行第一列是f(n+1)，第一行第二列是f(n)，第二行第一列是f(n)，第二行第二列是f(n-1)。)
有了这个公式，要求得f(n)，我们只需要求得矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方，因为矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方的结果的第一行第一列就是f(n)。这个数学公式用数学归纳法不难证明。感兴趣的朋友不妨自己证明一下。
现在的问题转换为求矩阵{1, 1, 1, 0}的乘方。如果简单第从0开始循环，n次方将需要n次运算，并不比前面的方法要快。但我们可以考虑乘方的如下性质：
/ an/2*an/2 n为偶数时
an=
\ a(n-1)/2*a(n-1)/2 n为奇数时
要求得n次方，我们先求得n/2次方，再把n/2的结果平方一下。如果把求n次方的问题看成一个大问题，把求n/2看成一个较小的问题。这种把大问题分解成一个或多个小问题的思路我们称之为分治法。这样求n次方就只需要logn次运算了。
实现这种方式时，首先需要定义一个2×2的矩阵，并且定义好矩阵的乘法以及乘方运算。当这些运算定义好了之后，剩下的事情就变得非常简单。完整的实现代码如下所示。
1 #include <cassert> 2 3 /////////////////////////////////////////////////////////////////////// 4 // A 2 by 2 matrix 5 /////////////////////////////////////////////////////////////////////// 6 struct Matrix2By2 7 { 8 Matrix2By2 9 ( 10 long long m00 = 0, 11 long long m01 = 0, 12 long long m10 = 0, 13 long long m11 = 0 14 ) 15 :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) 16 { 17 } 18 19 long long m_00; 20 long long m_01; 21 long long m_10; 22 long long m_11; 23 }; 24 25 /////////////////////////////////////////////////////////////////////// 26 // Multiply two matrices 27 // Input: matrix1 - the first matrix 28 // matrix2 - the second matrix 29 //Output: the production of two matrices 30 /////////////////////////////////////////////////////////////////////// 31 Matrix2By2 MatrixMultiply 32 ( 33 const Matrix2By2& matrix1, 34 const Matrix2By2& matrix2 35 ) 36 { 37 return Matrix2By2( 38 matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10, 39 matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11, 40 matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10, 41 matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11); 42 } 43 44 /////////////////////////////////////////////////////////////////////// 45 // The nth power of matrix 46 // 1 1 47 // 1 0 48 /////////////////////////////////////////////////////////////////////// 49 Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n) 50 { 51 assert(n > 0); 52 53 Matrix2By2 matrix; 54 if(n == 1) 55 { 56 matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0); 57 } 58 else if(n % 2 == 0) 59 { 60 matrix = MatrixPower(n / 2); 61 matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix); 62 } 63 else if(n % 2 == 1) 64 { 65 matrix = MatrixPower((n - 1) / 2); 66 matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix); 67 matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0)); 68 } 69 70 return matrix; 71 } 72 73 /////////////////////////////////////////////////////////////////////// 74 // Calculate the nth item of Fibonacci Series using devide and conquer 75 /////////////////////////////////////////////////////////////////////// 76 long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n) 77 { 78 int result[2] = {0, 1}; 79 if(n < 2) 80 return result[n]; 81 82 Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1); 83 return PowerNMinus2.m_00; 84 }
以上转自何海涛博客
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《编程之美》2.9节里面有裴波那契数列的各种解法分析，其中关于O(logn)有循环解法，借用一下上面的数据结构和函数，代码如下
1 struct Matrix2By2 2 { 3 Matrix2By2 4 ( 5 long long m00 = 0, 6 long long m01 = 0, 7 long long m10 = 0, 8 long long m11 = 0 9 ) 10 :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) 11 { 12 } 13 14 long long m_00; 15 long long m_01; 16 long long m_10; 17 long long m_11; 18 }; 19 20 Matrix2By2 MatrixMultiply 21 ( 22 const Matrix2By2& matrix1, 23 const Matrix2By2& matrix2 24 ) 25 { 26 return Matrix2By2( 27 matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10, 28 matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11, 29 matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10, 30 matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11); 31 } 32 33 Matrix2By2 MatrixPow(const Matrix2By2& m, int n) 34 { 35 Matrix2By2 result = Matrix2By2(1, 0, 0, 1);//identity matrix 36 37 Matrix2By2 tmp = m; 38 39 for(;n;n>>1) 40 { 41 if (n&1) 42 { 43 result = MatrixMultiply(result,tmp); 44 } 45 46 tmp = MatrixMultiply(tmp,tmp); 47 } 48 49 return result; 50 }
