完全背包

完全背包

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 \(v_i\)，价值是 \(w_i\)。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 \(v_i,w_i\) 用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

\(0<N,V≤1000\)
\(0<v_i,w_i≤1000\)

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

AC代码

朴素做法

# include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 10;
int f[N][N];
int v[N], w[N];
int n, m;

int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {  // 第一维表示的是从前i个物品选取
        for(int j = 0; j <= m; j ++) { // 第二维表示背包体积
            for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++) {
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
            }
        }
    }
    
    cout << f[n][m];
}

优化做法

# include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 10;
int f[N][N];
int v[N], w[N];
int n, m;

int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
        for(int i = 1; i <= n; i ++) {  // 第一维表示的是从前i个物品选取
        for(int j = 0; j <= m; j ++) { // 第二维表示背包体积
            
                f[i][j] = f[i - 1][j];
                if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
            
        }
    }
    
    
    cout << f[n][m];
}

题解参考