$[Luogu]$ 洛谷 $P2766$ 题解【最长不下降子序列问题】

很不开心呢，明明有一点思路,却还是没写出来啊QAQ

先来看题吧：

第一问明显很好做，用一个普通的DP就可以搞定了

但是：重点来了，这个DP出来的f[i]f[i]数组对后面很有用呢

因为我们可以通过TA来确定出我们连边的方式，这一点在后面会具体讲到

接下来就是我们网络最大流喜闻乐见的拆点大法惹

拆点大法吼哇

将每个数拆成一个入点，一个出点（对于第i个点，我们设入点为i.x,出点为i.y）

为了保证每个数只用一次（针对第二问）我们将i.x与i.y连一条流量为1的边

找到所有只能做子序列开头的数（即f[i]==1）将S与i.x连一条流量为1的边

找到所有做满足条件的子序列结尾的数（即f[i]==ans1）将i.y与T连一条流量为1的边

然后跑一遍类似于DP的过程，将满足条件的子序列的数挨个连起来，再做一遍网络最大流就搞定了第二问

至于第三问，因为X1​与Xn​可以使用无限次

我们可以将X1​与Xn​内部的边（即对于第i个点，i.x与i.y连的边）流量建为INF，将S与X1​.x的边流量改为INF，将Xn​.y与T的边流量改为INF

再跑最大流，并将答案加在ans2上就是第三问的答案啦

上代码QAQ

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int head[250001],num_edge=-1,s,t,n;
int a[501];
struct Edge
{
    int next,to,dis;
}edge[250001];
void push(int from,int to,int dis)
{
    edge[++num_edge].next=head[from];
    edge[num_edge].to=to;
    edge[num_edge].dis=dis;
    head[from]=num_edge;
}
void add(int u,int v,int val){
    push(u,v,val);
    push(v,u,0);
}
int d[250001],f[250001],cur[250001];
inline bool bfs()
{
    memset(d,0,sizeof(d));
    d[s]=1;
    queue<int> q;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            int y=edge[i].to;
            if(!d[y]&&edge[i].dis)
            {
                d[y]=d[x]+1;
                q.push(y);
            }
        }
    }
    if(!d[t]) return 0;
    else return 1;
}
int dfs(int pos,int dis)
{
    if(pos==t) return dis;
    for(int i=cur[pos];i!=-1;i=edge[i].next)
      if(d[edge[i].to]==d[pos]+1&&edge[i].dis>0)
      {
          int data=dfs(edge[i].to,min(dis,edge[i].dis));
          if(data>0)
          {
              edge[i].dis-=data;
              edge[i^1].dis+=data;
              if(edge[i].dis) cur[pos]=i;
              return data;
        }
      }
    return 0;
}
inline int Dinic()
{
    int ans=0;
    while(bfs())
    {
        memcpy(cur,head,sizeof(cur));
        while(int data=dfs(s,0x3f3f3f3f))
          ans+=data;
    }
    return ans;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
      f[i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<i;j++)
        if(a[j]<=a[i])
          f[i]=max(f[i],f[j]+1);
    int ans1=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      ans1=max(ans1,f[i]);
    cout<<ans1<<endl;
    s=0;
    t=n+n+1;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for(int i=1;i<=n;i++)
      add(i,i+n,1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      if(f[i]==1) add(s,i,1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      if(f[i]==ans1) add(i+n,t,1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<i;j++)
        if(a[j]<=a[i]&&f[j]==f[i]-1)
          add(j+n,i,1);
    int ans2=Dinic();
    cout<<ans2<<endl;
    add(1,1+n,0x3f3f3f3f);
    add(s,1,0x3f3f3f3f);
    if(f[n]==ans1) add(n,n+n,0x3f3f3f3f),add(n+n,t,0x3f3f3f3f);
    ans2+=Dinic();
    cout<<ans2;
}