$SNOI2019$数论

一本正经的链接\(SNOI2019\)数论

有环的东西真\(TM\)难调……

暴力显然是跑一遍\(T\)，对每个数判断一下。

考虑转化研究对象，变为对于每一个\(A[i]\)有多少\(x\)满足\(0< x< T\)，\(x\equiv A[i]\mod P\)且\(x \mod Q\in B\)。

显然可令\(x=A[i]+k*P\)，枚举\(k\)，考虑\(k\)的上界：取到\(\left \lfloor \frac{T-1-A[i]}{P} \right \rfloor\)。我们发现\(x\)肯定会在\(\mod Q\)意义下循环。

其一定在\(k*P\equiv 0\mod Q\)时循环。这样我们可以的得到循环节为\(k=\frac{Q}{gcd(P,Q)}\)。

这样我们就可以处理出环，在环上跑\(\left \lfloor \frac{T-1-A[i]}{P} \right \rfloor\)步，看有多少点可以产生贡献（重复经过也要算贡献）。

拿前缀和维护即可，因为\((x+P)\%Q\)不好倒回，所以我的前缀和和常用的不太一样。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read()
{
    int f=1,w=0;char x=0;
    while(x<'0'||x>'9') {if(x=='-') f=-1; x=getchar();}
    while(x!=EOF&&x>='0'&&x<='9') {w=(w<<3)+(w<<1)+(x^48);x=getchar();}
    return w*f;
}
const int N=1000010;
int A[N],B[N],Fab[N];
int Col[N],Id[N],S[N];
int P,Q,n,m,T,Cnt,ans;
vector<int> Cir[N],Sum[N];
inline int gcd(int a,int b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
signed main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("A.in","r",stdin);
#endif
	P=read(),Q=read(),n=read(),m=read(),T=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) A[i]=read();
	for(int i=1;i<=m;i++) B[i]=read();
	if(P>Q) swap(A,B),swap(n,m),swap(P,Q);
	for(int i=1;i<=m;i++) Fab[B[i]]=1;
	int Len=Q/gcd(P,Q);sort(A+1,A+n+1);
	for(int i=0;i<Q;i++)
		if(!Col[i])
		{
			int Tot=0;Col[i]=++Cnt,Id[i]=0;
			for(int j=(i+P)%Q;j!=i;j=(j+P)%Q) Id[j]=++Tot,Col[j]=Col[i];
			Sum[Col[i]].push_back(0);
			for(int j=i;(j+P)%Q!=i;j=(j+P)%Q) Sum[Col[i]].push_back(Sum[Col[i]][Id[j]]+Fab[j]);
			for(int j=(i+P)%Q;j!=i;j=(j+P)%Q) S[Col[i]]+=Fab[j];S[Col[i]]+=Fab[i];
			Cir[Col[i]].push_back(i);
			for(int j=(i+P)%Q;j!=i;j=(j+P)%Q) Cir[Col[i]].push_back(j);
		}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int Stp=floor((T-A[i]-1)/P*1.0);
		ans+=Stp/Len*S[Col[A[i]]];Stp%=Len;
		if(Stp+Id[A[i]]<Len)
		{
			int End=Cir[Col[A[i]]][Stp+Id[A[i]]];
			ans+=Sum[Col[A[i]]][Id[End]]-Sum[Col[A[i]]][Id[A[i]]]+Fab[End];
		}
		else
		{
			int End=Cir[Col[A[i]]][(Stp+Id[A[i]])%Len];
			ans+=S[Col[A[i]]]-Sum[Col[A[i]]][Id[A[i]]]+Sum[Col[A[i]]][Id[End]]+Fab[End];
		}
	}
	printf("%lld",ans);
}