基环树一统天下千秋万代
基环树，又称环套树，顾名思义，为树上多一条边，\(n\)个节点\(n\)条边。
\(First\)无论啥题，你基环树总得找环，不找环你玩啥呢……
我找到了三种方法找环，各有千秋，注释中有，就直接放上来了
//https://www.cnblogs.com/akura/p/10838613.html
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
int f=1,w=0;char x=0;
while(x<'0'||x>'9') {if(x=='-') f=-1; x=getchar();}
while(x!=EOF&&x>='0'&&x<='9') {w=(w<<3)+(w<<1)+(x^48);x=getchar();}
return w*f;
}
const int N=200010;
int n,num_edge,Cnt,Top,Time;
int head[N<<2],Cir[N],Dag[N],boki[N],Vis[N];
struct Edge{int next,to,dis;} edge[N<<2];
inline void Add(int from,int to,int dis)
{
edge[++num_edge].next=head[from];
edge[num_edge].dis=dis;
edge[num_edge].to=to;
head[from]=num_edge;
}
inline void Bfs_Find_Cir()//Bfs找环还是少用，它忽略了原本的树形结构，仅能找到环上的点（或者说环边不太好找）
{
queue<int> q;
for(int i=1;i<=n;i++) if(Dag[i]==1) q.push(i);
while(!q.empty())
{
int x=q.front();q.pop();
for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
{
Dag[edge[i].to]--;
if(Dag[edge[i].to]==1) q.push(i);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) if(Dag[i]==2) Cir[++Cnt]=i,boki[i]=1;
}
int Ink[N],Stk[N];
inline void Dfs_For_Cir_Stk(int pos,int fth)//这是用栈实现的Dfs，但是重点是弹出操作，避免将非环点放入(针对有向图)
{
Vis[pos]=1,Stk[++Top]=pos;Ink[pos]=1;
for(int i=head[pos];i;i=edge[i].next)
if(edge[i].to!=fth)
if(Vis[edge[i].to])
{
if(Ink[edge[i].to])
{
for(int Now=Stk[Top];Now!=edge[i].to;Now=Stk[--Top])
Cir[++Cnt]=Now,Ink[Now]=0;
Cir[++Cnt]=edge[i].to;
}
}
else Dfs_For_Cir_Stk(edge[i].to,pos);
Ink[pos]=0,--Top;
}
int Dfn[N],fa[N];
inline void Dfs_For_Cir_Dfn(int pos,int fth)//这是用时间戳实现的Dfs（个人感觉这个更好一些，重点是用Dfn防止找两遍）
{
Dfn[pos]=++Time;fa[pos]=fth;
for(int i=head[pos];i;i=edge[i].next)
if(edge[i].to!=fth)
if(Dfn[edge[i].to])
{
if(Dfn[edge[i].to]>Dfn[pos])
{
for(int Now=edge[i].to;Now!=pos;Now=fa[Now])
Cir[++Cnt]=Now;
Cir[++Cnt]=pos;
}
}
else Dfs_For_Cir_Dfn(edge[i].to,pos);
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("A.in","r",stdin);
//freopen("B.in","r",stdin);
#endif
n=read();
for(int i=1,u,v,d;i<=n;i++)
{
u=read(),v=read(),d=read();
Add(u,v,d),Add(v,u,d);Dag[v]++,Dag[u]++;
}
Bfs_Find_Cir(); for(int i=1;i<=Cnt;i++) printf("%d",Cir[i]);
}
例题：\(IOI2008Island\)
思路很好想，找环，断环为链，单调队列维护最大值。
实现细节有点繁琐，还有一个双倍经验（\(IOI\)的是基环树森林，此题是基环树）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read()
{
int f=1,w=0;char x=0;
while(x<'0'||x>'9') {if(x=='-') f=-1; x=getchar();}
while(x!=EOF&&x>='0'&&x<='9') {w=(w<<3)+(w<<1)+(x^48);x=getchar();}
return w*f;
}
const int N=1000010;
int Max1,Max2,Cnt;
int num_edge,n,Tim,ans;
pair<int,int> Cir[N<<1];
int head[N<<1],Dep[N],Used[N];
int Vis[N],Id[N],fa[N],Dfn[N],Sum[N<<1];
struct Edge{int next,to,dis;} edge[N<<1];
inline int C(int i) {return Cir[i].first;}
inline void Add(int from,int to,int dis)
{
edge[++num_edge].next=head[from];
edge[num_edge].dis=dis;
edge[num_edge].to=to;
head[from]=num_edge;
}
inline void Dfs_For_Cir_Dfn(int pos,int fth,int lid)
{
Dfn[pos]=++Tim,fa[pos]=fth,Id[pos]=lid;
for(int i=head[pos];i&&!Cnt;i=edge[i].next)
if(edge[i].to!=fth)
{
if(Dfn[edge[i].to])
{
if(Dfn[edge[i].to]>Dfn[pos])
{
for(int Now=edge[i].to;Now!=pos;Now=fa[Now])
Cir[++Cnt]=make_pair(Now,edge[Id[Now]].dis),Vis[Now]=1;
Cir[++Cnt]=make_pair(pos,edge[i].dis),Vis[pos]=1;return ;
}
}
else Dfs_For_Cir_Dfn(edge[i].to,pos,i);
}
}
inline void Dfs_For_Dep(int pos,int fth)
{
Used[pos]=1;
for(int i=head[pos];i;i=edge[i].next)
if(edge[i].to!=fth&&!Vis[edge[i].to])
{
Dfs_For_Dep(edge[i].to,pos);
Max1=max(Max1,Dep[pos]+Dep[edge[i].to]+edge[i].dis);
Dep[pos]=max(Dep[pos],Dep[edge[i].to]+edge[i].dis);
}
}
main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("A.in","r",stdin);
#endif
n=read();
for(int i=1,x,d;i<=n;i++)
x=read(),d=read(),Add(i,x,d),Add(x,i,d);
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!Used[i])
{
deque<int> q;Max1=Max2=0;
Cnt=0;Dfs_For_Cir_Dfn(i,0,0);
for(int j=1;j<=Cnt;j++) Dfs_For_Dep(Cir[j].first,0),Cir[j+Cnt]=Cir[j];
/*有点奇怪的前缀和*/
for(int j=1;j<=(Cnt<<1);j++) Sum[j]=Sum[j-1]+Cir[j-1].second;
/*单调队列出一定要注意在队中的到底是什么*/
for(int j=1;j<=(Cnt<<1);j++)
{
while(q.size()&&(j-q.front())>=Cnt) q.pop_front();
if(q.size()) Max2=max(Max2,Dep[C(j)]+Dep[C(q.front())]+Sum[j]-Sum[q.front()]);
while(q.size()&&Dep[C(q.back())]-Sum[q.back()]<=Dep[C(j)]-Sum[j]) q.pop_back();
q.push_back(j);
}
ans+=max(Max1,Max2);
}
printf("%lld",ans);
}
例题：\(NOI2012\)迷失游乐园
换根\(DP+\)基环树，思路不难，要考虑的东西很多，因为我直接在环上跑编号，所以细节更多。。。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
int f=1,w=0;char x=0;
while(x<'0'||x>'9') {if(x=='-') f=-1; x=getchar();}
while(x!=EOF&&x>='0'&&x<='9') {w=(w<<3)+(w<<1)+(x^48);x=getchar();}
return w*f;
}
const int N=100010,M=30;
pair<int,int> Cir[N];
int num_edge,n,m,Tim,Cnt;
int Id[N],Dfn[N],Nex[N],Tag[N];
double Up[N],Down[N],ans[N],Dis[M][M],Ans;
int head[N<<1],Son[N],Vis[N],fa[N];
struct Edge{int next,to,dis;} edge[N<<1];
inline void Add(int from,int to,int dis)
{
edge[++num_edge].next=head[from];
edge[num_edge].dis=dis;
edge[num_edge].to=to;
head[from]=num_edge;
}
inline void Dfs_For_Tree_Down(int pos,int fth)
{
for(int i=head[pos];i;i=edge[i].next)
if(edge[i].to!=fth&&!Vis[edge[i].to])
Dfs_For_Tree_Down(edge[i].to,pos),Son[pos]++;
for(int i=head[pos];i;i=edge[i].next)
if(edge[i].to!=fth&&!Vis[edge[i].to])
Down[pos]+=Down[edge[i].to]+edge[i].dis*1.0;
if(Son[pos]) Down[pos]=Down[pos]/(Son[pos]*1.0);
}
inline void Dfs_For_Tree_Up(int pos,int fth,double dis)
{
if(m==n-1)
{
if(Son[fth]&&fth!=1)
Up[pos]=(Up[fth]+Down[fth]*Son[fth]-Down[pos]-dis)/Son[fth]+dis;
else if(fth==1&&Son[fth]>1)
Up[pos]=(Up[fth]+Down[fth]*Son[fth]-Down[pos]-dis)/(Son[fth]-1)+dis;
else if(fth==1&&Son[fth]==1) Up[pos]=dis;
if(pos!=1) ans[pos]=(Down[pos]*Son[pos]+Up[pos])/(Son[pos]+1);
else ans[pos]=Down[pos];
}
else
{
if(Son[fth]&&!Vis[fth])
Up[pos]=(Up[fth]+Down[fth]*Son[fth]-Down[pos]-dis)/Son[fth]+dis;
else if(Vis[fth])
Up[pos]=(Up[fth]*2+Down[fth]*Son[fth]-Down[pos]-dis)/(Son[fth]+1)+dis;
ans[pos]=(Up[pos]+Down[pos]*Son[pos])/(1+Son[pos]);
}
for(int i=head[pos];i;i=edge[i].next)
if(edge[i].to!=fth&&!Vis[edge[i].to])
Dfs_For_Tree_Up(edge[i].to,pos,edge[i].dis*1.0);
}
inline void Find_Dia(int pos,int fth,int lid)
{
Dfn[pos]=++Tim;fa[pos]=fth,Id[pos]=lid;
for(int i=head[pos];i&&!Cnt;i=edge[i].next)
if(edge[i].to!=fth)
{
if(Dfn[edge[i].to])
{
if(Dfn[edge[i].to]>Dfn[pos])
{
for(int Now=edge[i].to;Now!=pos;Now=fa[Now])
{
Cir[++Cnt]=make_pair(Now,edge[Id[Now]].dis);
Vis[Now]=1,Tag[Now]=Cnt;
}
Cir[++Cnt]=make_pair(pos,edge[i].dis);
Vis[pos]=1,Tag[pos]=Cnt;
}
}else Find_Dia(edge[i].to,pos,i);
}
}
inline void Work(int Root)
{
Find_Dia(Root,0,0);
for(int i=1;i<=Cnt;i++) Dfs_For_Tree_Down(Cir[i].first,0);
for(int i=1;i<=Cnt;i++)
{
if(i!=1) Dis[i-1][i]=Dis[i][i-1]=Cir[i-1].second*1.0;
if(i!=Cnt) Dis[i][i+1]=Dis[i+1][i]=Cir[i].second*1.0;
}
Dis[1][Cnt]=Dis[Cnt][1]=Cir[Cnt].second*1.0;
for(int i=1;i<=Cnt;i++)
{
int Now=Cir[i].first;double P=1.0;
for(int j=i+1;j!=i;j++)
{
if(j>Cnt) j-=Cnt;if(j==i) break;
int Pos=Cir[j].first;int w=Dis[j][!(j-1)?Cnt:j-1];
if(j==(!(i-1)?Cnt:i-1)) Up[Now]+=P*(w+Down[Pos]);
else Up[Now]+=P*(w*1.0+Down[Pos]*Son[Pos]/(Son[Pos]+1)*1.0);
P/=Son[Pos]+1;
}
P=1.0;
for(int j=i-1;j!=i;j--)
{
if(j<=0) j+=Cnt;if(j==i) break;
int Pos=Cir[j].first;int w=Dis[j][(j+1)>Cnt?1:j+1];
if(j==((i+1)>Cnt?1:i+1)) Up[Now]+=P*(w+Down[Pos]);
else Up[Now]+=P*(w*1.0+Down[Pos]*Son[Pos]/(Son[Pos]+1)*1.0);
P/=Son[Pos]+1;
}
Up[Now]/=2;
}
for(int i=1;i<=Cnt;i++)
for(int j=head[Cir[i].first];j;j=edge[j].next)
if(!Vis[edge[j].to])
Dfs_For_Tree_Up(edge[j].to,Cir[i].first,edge[j].dis);
for(int i=1;i<=Cnt;i++)
{
int pos=Cir[i].first;
ans[pos]=(Up[pos]*2+Down[pos]*Son[pos])/(2+Son[pos]);
}
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("A.in","r",stdin);
#endif
n=read(),m=read();
for(int i=1,u,v,d;i<=m;i++)
u=read(),v=read(),d=read(),Add(u,v,d),Add(v,u,d);
if(m==n) Work(1);
else Dfs_For_Tree_Down(1,0),Dfs_For_Tree_Up(1,0,0);
for(int i=1;i<=n;i++) Ans+=ans[i];printf("%.5lf",Ans/n*1.0);
}
