相邻两项比较的方法深入人心（

原题 Link

感谢那个第一位写出此题正解且没有被 hack 掉的大佬。

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建议这一道题目和国王游戏一起看

但是这两道题目在算法上却有一些本质的不同。（这一篇会主要讲讲）

整理做法

首先看到安排顺序，考虑进行相邻两项的比较，跟国王游戏的套路没啥区别；

再来看一眼题目中给出的表达式：

$$c_{i}= \begin{cases} a_{1}+b_{1} , & \ i=1 \\ \max \left \{ c_{i-1},\sum_{j=1}^{i}a_{j} \right \}+b_{i}, & \ 2\leq i \leq n \end{cases}$$

这其实就足以证明越往后钱就约多，然而皇后却希望奖金最多的大臣得到的钱要尽量少，所以我们要让后面的大臣的奖金尽量少；

相邻两项之间的比较

国王游戏这一道题目我们是比较的

$$\max(b_{i+1},a_i\cdot b_i)<\max(b_i,a_{i+1}\cdot b_{i+1})$$

说简单点也就是比较交换前的 $\max(c_i,c_j)$ 和交换后的 $\max(c_i,c_j)$ 但是这里我们显然是不用这么去比较的，其他题解都讲的很清楚力，由于 $c_i$ 相对于其他的量来说是一只在变化的，所以，我们只需要比较 交换前的 $c_j$ 和交换后的 $c_i$ 就可以了；

然后其实这一部分比较就是一个一直化简、举例的过程，别的题解讲的很透了，这里不说了，总之我们珂以推出下面的柿子：

$$\max(a_i,b_j) \le \max(a_j,b_i)$$

（注：这里满足的条件是 $j=i+1$）

从这里我们可以得出要来：

若 $\min(a_i,b_j) \le \max(a_j,b_i)$ 那么调换一下 $i$ 和 $j$ 的位置就可；

这个不受这两个大臣前后的大臣的影响。

但是为了证实这个是正确的，我们就需要考虑一个极端的可能性：

由于上面那个柿子和 $a_i$ 与 $b_i$ 的大小有着直接的关系，我们不妨分情况来看一下：

• 若 $a_i \le b_i$，因此，$a_j \le a_i$ 并且 $a_j \le b_j$ 不难看出，这一组要按照 $a$ 的升序 排列；

• 若 $a_i>b_i$，则有 $b_j \ge b_i$ 或者 $b_j \ge a_j$ 这一组要按照 $b$ 的降序 排列；

所以我们可以得出一个结论：

把 $a \le b$ 的部分尽量放在前面，然后按照 $a$ 的升序排列，后面的部分显然就是 $a>b$ 的部分，按照 $b$ 的降序排列

于是，可以得出代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
struct Node {
	ll a, b, t;
	bool operator<(const Node& n2)const {
		if (t != n2.t)
		{
			return t < n2.t;
		}
		if (t != 3) { 
			return a < n2.a; 
		}
		else
		{
			return b > n2.b;
		}
	}
}node[100005];
//这里可以对比国王游戏的代码部分
int main() {
	int T, n;
	cin >> T;
	while (T--)
	{
		cin >> n;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			cin >> node[i].a >> node[i].b;
			if (node[i].a < node[i].b) {
				//a[i]<b[i]的情况：
				node[i].t = 1;
			}
			else if (node[i].a == node[i].b) {
				//a[i]=b[i]的情况：
				node[i].t = 2;
			}
			else {
				node[i].t = 3;
			}
		}
		sort(node + 1, node + 1 + n);
		ll x, y;
		x = node[1].a, y = node[1].a + node[1].b;//开始第一个人的钱数
		for (int i = 2; i <= n; i++) {
			x += node[i].a;
			y = max(y, x) + node[i].b;
		}
		cout << y << endl;
	}
	return 0;
}

代码没啥好说的吧；

总结一下，这道题最难的地方是推柿子还有最后的证明过程，希望相邻两项比较的方法可以深入人心吧。