拓展欧几里得

在了解拓展欧几里得时，建议大家先去看一眼欧几里得算法（也叫辗转相除法）

过程大概如下图所示：

那么，我们因此也可以给出一段代码：

int gcd(int a,int b)
{
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}

为什么成立这一块以后会来填坑的/qq

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那么，什么是拓展欧几里得呢？

拓展欧几里得是一种算法，在不断的辗转相除中得到不定方程

$ax+by=c$ 的一组解；

我们借着上面的那个图来说明一下：

我们看最后一个式子：$21=6×3+3$ 这里，我们也可以写成：$3=6×(-3)+21$

也就是说，$3$ 可以被表示为 $6$ 和 $21$ 的线性组合。

那么我们接着看，$6$ 也可以成 $21$ 和 $27$ 的线性组合，因此，有：

$$3=6×(-3)+21=(27-21)×(-3)+21=27×(-3)+21×4$$

那么一直往下推，我们就可以推出来：$3$ 就是 $75$ 和 $48$ 的线性组合；

那么，如果 $c$ 是其他的数，能不能找到解呢？

其实 $c$ 必须要是 $\gcd(a,b)$ 的倍数，因此，尝试等式两边同时初以 $\gcd(a,b)$;

$$\frac{a}{\gcd(a,b)}x+\frac{b}{\gcd(a,b)}y=\frac{c}{\gcd(a,b)}$$

因为等式的左侧肯定是一个整数，为了使等式成立，等式的右侧也必然是一个整数

那么我们同样也来看一看这个的具体过程

这里呢，通过求 $bx_0+(a \mod b)y_0=c$ 的解，就可以得出来 $ax+by=c$ 的解；

对比 $x$ 的系数和 $y$ 的系数，就是

$\begin{cases}x=y0\\y=x0-\left [ a /b \right ]y0 \end{cases}$

这玩意其实就跟辗转相除差不多一回事，当 $b=0$ 的时候结束递归，

最后令 $x=1,y=0$

int gcd(int a, int b,int &x,int &y) {
      if (b == 0) {
      x = 1, y = 0;
      return a;
      }
      int ans = gcd(b, a % b, x, y);
      int temp = x;
      x = y;
      y = temp - a / b * y;
      return ans;
}

后续的证明正在施工中。