初等数论

前言

感觉最近状态不是很好，写一篇笔记吧，

但是有感觉不知道写什么好，就写一篇总结吧 qwq

正文

$\mathtt{Part.1 素数筛}$

基础筛法

其实就是每一步都判断一次，再加一步的优化；

bool isprime(int x){
    if(x<=1) return 0;
    for(int i=2;i<=sqrt(x);i++){
	  if(x%i==0) return 0;
    }
    return 1;
}

埃氏筛法

时间复杂度： $O (n \ log \ log \ n)$

还可以，但是还是有些慢，

主要的原理就是从 2 开始，把每一个数的倍数都进行一次标记；

void isprime() {
    bool p[1000001];
    memset(p, 0, sizeof(p));
    p[0] = p[1] = false;
    for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++) {
	 if (p[i]) {
	      for (int j = 2 * i; j <= n; j += i) {
                    p[i] = false;
	      }
	 }
    }
}

线性筛（欧式筛）

时间复杂度： $O(N)$

从小到大不断累计因子；

void init() {
  phi[1] = 1;
  for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
    if (!vis[i]) {
      phi[i] = i - 1;
      pri[cnt++] = i;
    }
    for (int j = 0; j < cnt; ++j) {
      if (1ll * i * pri[j] >= MAXN) break;
      vis[i * pri[j]] = 1;
      if (i % pri[j]) {
        phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
      } else {
        // i % pri[j] == 0
        // 换言之，i 之前被 pri[j] 筛过了
        // 由于 pri 里面质数是从小到大的，所以 i 乘上其他的质数的结果一定会被
        // pri[j] 的倍数筛掉，就不需要在这里先筛一次，所以这里直接 break
        // 掉就好了
        phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
        break;
      }
    }
  }
}

$\mathtt{Part.2\ Prime Numbers}$

$ϕ(n)$ 表示 $1$ 到 $n$ 中，与 $n$ 互质的正整数的个数；

定义：

$ϕ(n)=n（1-\dfrac{1}{p_1}）(1-\dfrac{1}{p_2})……(1-\dfrac{1}{p_n})$

其中， $p_1$ 、 $p_2$ ……直到 $p_n$ 都是 $n$ 的质因数；

$ϕ(n)$ 也有许多好玩的性质 $\mathfrak{Link}$

~~因为懒，所以请直接食用那篇文章；~~

int ph[1000001];
void phi(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
	ph[i] = i;
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
	for (int j = i; j <= n; j++) {
	    ph[j] = ph[j] / i * (i - 1);
	}
    }
}

$\mathtt{Part.3欧几里得}$

$gcd$ ，欧几里得算法，所谓的辗转相除

int gcd(int a,int b)
{
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}

当然，提到了欧几里得算法，就可以来看一眼拓展欧几里得，

给定任意两数 $a$ 和 $b$

来看下面这个等式（当然如果你愿意也可以叫不定方程）：

$ax+by=gcd(a,b)$

我们管解这个方程（其实是一种丢番图方程）的算法叫做拓展欧几里得；

如果求出来了一组特解就可以求出来这个方程的通解；

求出来这玩意其实就是为了来求一个叫做逆元的东西；

顺便提一下逆元，

这个式子中， $a×x\equiv1\pmod{m}$ 我们称 $x$ 是 $a$ 关于 $m$ 的乘法逆元；

int gcd(int a, int b,int &x,int &y) {
      if (b == 0) {
	  x = 1, y = 0;
	  return a;
      }
      int ans = gcd(b, a % b, x, y);
      int temp = x;
      x = y;
      y = temp - a / b * y;
      return ans;
}