浅谈并查集

前置芝士

并查集主要用于解决一些元素分组问题，有以下两种操作：

• 合并：把两个不相交的集合合并为一个集合。

• 查询：查询两个元素是否在同一个集合中。

一篇个人认为比较好的珂以推荐的并查集引入文章Link

举的栗子很生动；

开始码

普通并查集

我们跟着上面提到的文章的思路开始码：

void init(int n) {
    //用作初始化
    int i;
    for (i = 1; i <= n; i++) {
	node[i] = i;
    }
}

由于我们一开始就给每个节点的值赋成了该节点的标号，

所以查询的时候只需要查编号是否相等即可；

int findgen(int i) {
    //用于寻找根节点
    if (node[i] == i) return i;
    node[i] = findgen(node[i]);
}

如果珂以就合并；

但是还有一个问题需要考虑，

如果后面形成的不是我们所希望的一棵树的样子，而是直接成了一串，

会非常难找

这时候我们需要进行路径压缩,在过程中把沿途的每个节点的父节点都设为根节点

int findgen(int i) {
    //用于寻找根节点
    if (node[i] == i) return i;
    node[i] = findgen(node[i]);
    return node[i];
    //return 0;
}

光这一点显然远远不够，我们需要来考虑合并的顺序，于是，有了下方的优化：

void hebing(int x, int y) {
    //用于合并两棵树
    x = findgen(x);//第1棵树的高度
    y = findgen(y);//第2棵树的高度
    if (x == y) return;
    if (high[x] > high[y]) {
	//如果第1棵树的高度高过第2棵树的高度
	node[y] = x;
    }
    else if (high[x] == high[y]) {
	node[y] = x;
	high[x]++;
    }
    else node[x] = y;
    return;
}

然而并查集的应用还有很多

留一道题目吧P3958

总之涉及到元素分组的问题可以直接并查集

种类并查集

一般的并查集，我们只需要维护连通性和传递性（如：亲戚的亲戚也是亲戚）这类的，

但是我们会遇到例如敌人的敌人是朋友这种关系，种类并查集是用来做这个的；

这里我们介绍一下方法：

我们先来开 1 个2倍大小的并查集，比如我们这道题上面，我们维护的是一个监狱里的人

那么，比如有 4 个人，因此考虑开 8 个单位空间，

（所有过程请见上图）

为了更加直观的表达这一关系，我们把两个敌人的编号分别设为 $i$ 和 $j$

那么，我们就要 连接(i,j+n) 还有 连接(j,i+n)