拓扑排序和拓扑序

合集 - 图论(5)

1.拓扑排序和拓扑序2023-10-07

2.最短路2023-10-083.最小生成树和次小生成树2023-10-084.连通性与 Tarjan2023-10-085.欧拉路2023-10-08

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众所周知，拓扑序可以决定 dp 的顺序，而拓扑排序则是用于求图上的点的拓扑序。

对于图上任意两点 $x,y(x\ne y)$，当 $x$ 的拓扑序大于 $y$ 的拓扑序时，$x$ 不能到达 $y$。所以在有向有环图和无向图上是不存在拓扑序的。

而拓扑排序则是用于求 DAG(有向无环图)的拓扑序。

思想

从小到大分配拓扑序。

对于一个节点 $x$，如果它的入度为 $0$，那么就代表在原图上所有可以到达 $x$ 的点的拓扑序都小于 $x$ 的拓扑序，那么就删除节点 $x$，继续进行下一次分配。

实现

用一个队列来维护入度为 $0$ 的节点。

首先把所有原图中的入度为 $0$ 压入队列，然后每次取出队头元素 $x$，删除它。

删除就是将所有 $x$ 连向的节点的入度减 $1$，如果其中有一个节点的入度变为 $0$ 了，将其压入队列即可。

B3644 【模板】拓扑排序 / 家谱树

虽然这题 $n$ 范围很小，但是就把它当 ${10}^5$ 这种级别来做。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
 
using namespace std;
 
int n, x, b[110];
vector<int> g[110];
queue<int> q;
 
int main () {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    while (cin >> x && x) {
      g[i].push_back(x), b[x]++;
    }
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (!b[i]) {
      q.push(i);
    }
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    x = q.front();
    q.pop();
    cout << x << ' ';
    for (int j : g[x]) {
      b[j]--;
      if (!b[j]) {
        q.push(j);
      }
    }
  }
  return 0;
}

令 $n$ 为节点数，$m$ 为边数，所有复杂度为 $O(n+m)$。

一些应用

• 拓扑序决定了 dp 的顺序，因此当要做图上 dp 时可以直接边拓扑排序边 dp。
• 给定一个有向图，可以通过拓扑排序来判环，当拓扑排序后仍有节点没有被规定拓扑序时就是有环。