连通性与 Tarjan

合集 - 图论(5)

1.拓扑排序和拓扑序2023-10-072.最短路2023-10-083.最小生成树和次小生成树2023-10-08

4.连通性与 Tarjan2023-10-08

5.欧拉路2023-10-08

收起

强连通分量和 Tarjan

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强连通分量(Strongly Connected Components，SCC)，指的是极大的连通子图。

tarjan 算法，用于求图的强连通分量。

dfs 生成树

有向图的 dfs 生成树大致分为四种边：

• 树边(tree edge)：示意图中以黑色边表示，每次搜索找到一个还没有访问过的结点的时候就形成了一条树边。
• 反祖边(back edge)：示意图中以红色边表示(即 $7\to 1$)，也被叫做回边，即指向祖先结点的边。
• 横叉边(cross edge)：示意图中以蓝色边表示(即 $9\to 7$)，它主要是在搜索的时候遇到了一个已经访问过的结点，但是这个结点 并不是 当前结点的祖先。
• 前向边(forward edge)：示意图中以绿色边表示（即 $3\to 6$)，它是在搜索的时候遇到子树中的结点的时候形成的。

如果结点 $u$ 是某个强连通分量在搜索树中遇到的第一个结点，那么这个强连通分量的其余结点肯定是在搜索树中以 $u$ 为根的子树中。结点 $u$ 被称为这个强连通分量的根。

反证法：假设有个结点 $v$ 在该强连通分量中但是不在以 $u$ 为根的子树中，那么 $u$ 到 $v$ 的路径中肯定有一条离开子树的边。但是这样的边只可能是横叉边或者反祖边，然而这两条边都要求指向的结点已经被访问过了，这就和 $u$ 是第一个访问的结点矛盾了。得证。

Tarjan 求强连通分量

需要对每个节点 $u$ 都维护以下几个信息：

• $df{n}_u$：$u$ 在深度优先搜索时是第几个被访问的(人称豆腐脑序)。
• $lo{w}_u$：在 $u$ 的子树中能够回溯到的最早的在栈中的结点。

很明显，对于每个 $u$ 的后代 $i$ 都有 $df{n}_u<df{n}_i$。从根开始的一条路径上的 $dfn$ 严格递增，$low$ 严格非降。

用 dfs 来求 $dfn$ 和 $low$，每搜索到一个新的节点就让它入栈，每找到一个强连通分类，就让它们出栈。

当节点 $u$ 向节点 $v$ 做遍历时，有三种情况：

• $v$ 未被访问，则对 $v$ 进行 dfs，回溯时 low[u] = min(low[u], low[v]); 因为存在从 $u$ 到 $v$ 的直接路径，所以 $v$ 能够回溯到的已经在栈中的结点，$u$ 也一定能够回溯到。
• $v$ 已被访问且仍在栈中，那么 low[u] = min(low[u], dfn[v]);
• $v$ 被访问过且已不在栈中，说明 $v$ 已搜索完毕，其所在连通分量已被处理，所以不用对其做操作。

处理完以后，我们可以想到在一个强连通分量里有且仅有一个点 $u$ 满足 $df{n}_u=lo{w}_u$，该结点一定是在深度遍历的过程中，该连通分量中第一个被访问过的结点，因为它的 $dfn$ 和 $low$ 值最小，不会被该连通分量中的其他结点所影响。

所以只要在回溯的过程中判断 $df{n}_u$ 是否和 $lo{w}_u$ 相等，若相等，则栈内 $u$ 及它上方的节点构成一个 SCC。

const int N = 1e4 + 10;
 
int n, dfncnt, dfn[N], low[N], bel[N], stk[N], top, fstk[N], sc, sz[N], b[N], ans, sum, c[N];
vector<int> g[N];
 
void tarjan (int x) {
  dfn[x] = low[x] = ++dfncnt, fstk[x] = 1, stk[++top] = x;
  for (int i : g[x]) {
    if (!dfn[i]) {
      tarjan(i), low[x] = min(low[x], low[i]);
    } else if (fstk[i]) {
      low[x] = min(low[x], dfn[i]);
    }
  }
  if (dfn[x] == low[x]) {
    ++sc;
    while (1) {
      sz[sc]++, fstk[stk[top]] = 0, bel[stk[top--]] = sc;
      if (stk[top + 1] == x) {
        break;
      }
    }
  }
}

应用

我们可以将每个强连通分量都压缩成一个点(缩点)，那么原图就会变成 DAG，可以进行拓扑排序等。

例题

P2746 [USACO5.3] 校园网Network of Schools | #10091. 「一本通 3.5 例 1」受欢迎的牛

割点和割边

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割点

对于一个无向图，如果把这个点删除后这个图的极大连通分量数增加了，那么这个点就是原图的割点(割顶)。

举个例子，这张图内的割点明显只有 $2$。

首先我们先通过 DFS 给它们打上时间戳：

记录在 $dfn$ 中，还需要另外一个数组 low，用它来存储不经过其父亲能到达的最小的时间戳。

好，和 Tarjan 扯上关系了，那么首先 Tarjan 预处理一下，可以得到定理：对于某个顶点 $u$，如果存在至少一个顶点 $v$($u$ 的儿子)，使得 $lo{w}_v⩾df{n}_u$，即不能回到祖先，那么 $u$ 点为割点。

但是对于搜索树的根节点需要特殊处理：若该点不是割点，则其他路径亦能到达全部结点，因此从起始点只「向下搜了一次」，即在搜索树内仅有一个子结点。如果在搜索树内有两个及以上的儿子，那么他一定是割点了(设想上图从 $2$ 开始搜索，搜索树内应有两个子结点：$3$ 或 $4$ 及 $5$ 或 $6$)。如果只有一个儿子，那么把它删掉，不会有任何的影响。比如下面这个图，此处形成了一个环。

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
const int N = 2e4 + 10;
 
int n, m, dfncnt, dfn[N], low[N], bel[N], stk[N], top, fstk[N], sc, sz[N], cnt;
vector<int> g[N];
bool ans[N];
 
void tarjan (int x, int fa) {
  int son = 0;
  dfn[x] = low[x] = ++dfncnt, fstk[x] = 1, stk[++top] = x;
  for (int i : g[x]) {
    if (!dfn[i]) {
      son++;
      tarjan(i, x), low[x] = min(low[x], low[i]);
      if (fa != x && low[i] >= dfn[x] && !ans[x]) {
        ans[x] = 1, cnt++;
      }
    } else if (i != fa) {
      low[x] = min(low[x], dfn[i]);
    }
  }
  if (fa == x && son >= 2 && !ans[x]) {
    ans[x] = 1, cnt++;
  }
}
 
int main () {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1, x, y; i <= m; i++) {
    cin >> x >> y, g[x].push_back(y), g[y].push_back(x);
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (!dfn[i]) {
      dfncnt = 0, tarjan(i, i);
    }
  }
  cout << cnt << '\n';
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (ans[i]) {
      cout << i << ' ';
    }
  }
  return 0;
}

模板题 Link

割边

对于一个无向图，如果删掉一条边后图中的连通分量数增加了，则称这条边为桥或者割边。严谨来说，就是：假设有连通图 $G=\{V,E\}$，$e$ 是其中一条边(即 $e\in E$)，如果 $G-e$ 是不连通的，则边 $e$ 是图 $G$ 的一条割边(桥)。

比如下图中红色边就是割边。

和割点差不多，不需要特殊考虑根节点，只要把 $lo{w}_v⩾df{n}_u$ 改为 $lo{w}_v>df{n}_u$ 即可。

void tarjan (int x, int fa) {
  dfn[x] = low[x] = ++dfncnt, fstk[x] = 1, stk[++top] = x;
  for (int i : g[x]) {
    if (!dfn[i]) {
      tarjan(i, x), low[x] = min(low[x], low[i]);
      if (low[i] > dfn[x] && !ans[x]) {
        ans[x] = 1, cnt++;
      }
    } else if (i != fa) {
      low[x] = min(low[x], dfn[i]);
    }
  }
}