最短路

合集 - 图论(5)

1.拓扑排序和拓扑序2023-10-07

2.最短路2023-10-08

3.最小生成树和次小生成树2023-10-084.连通性与 Tarjan2023-10-085.欧拉路2023-10-08

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最短路问题，顾名思义就是要求图上的某点到另外一点的最短距离，爆搜就不用说了。

令图上点数为 $n$，边数为 $m$。

由于考虑的是最短路，那么包含负环的图就不能算了，没有最短这一说。

正权图最短路性质：任意两点间的最短路都不会经过重复的点和重复的边。

$$\mathtt{\text{Floyd}}$$

优点

Floyd 可以求出两两节点间的最短路，码量较低，可以找到负权图的最短路。

缺点

时间复杂度高。

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令 f[k][i][j] 表示在只经过($i$ 和 $j$ 不算) $1\sim k$ 的点的情况下 $i$ 到 $j$ 的最短路，显然 f[n][i][j] 就是原图上 $i,j$ 之间最短路长度。

初始时 $f_{0,i,j}=\{\begin{array}{ll}0& i=j\\ \mathrm{边}\mathrm{权}& i\mathrm{和}j\mathrm{直}\mathrm{接}\mathrm{相}\mathrm{连}\\ +\mathrm{\infty }& i\mathrm{和}j\mathrm{不}\mathrm{相}\mathrm{连}\end{array}$，接着三重循环枚举 $k,i,j(1⩽k,i,j⩽n)$，f[k][i][j] = min(f[k - 1][i][j], f[k - 1][i][k] + f[k - 1][k][j])。

优化一下，第一维对结果无影响，变为二维 f[i][j]。

时间复杂度：$O(n^3+m)$，空间复杂度：$O(n^2)$

$$\mathtt{\text{Bellman-Ford}}$$

优点

可以找到负权图的单源最短路，可以判负环。

缺点

时间复杂度仍比较高。

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松弛操作：对于边 $u\stackrel{w}{\to }v$，$di{s}_v=min(di{s}_v,di{s}_u+w)$，如果$di{s}_v$ 发生了改变，就称为松弛成功。

Bellman-Ford 就是不断尝试松弛图上的边，每次循环都枚举每条边，看是否能松弛，如果所有的边都无法松弛了，那么最短路也就求完了。

在最短路存在的情况下，最多只会经过 $n-1$ 条边，那么松弛的次数也就不会超过 $n-1$，当第 $n$ 次松弛还能有松弛成功的点，就代表从原点开始能到达一个负环。

tips:如果想用 Bellman-Ford 判负环，那么最保守的方法是建立一个超级原点，向每个节点都连一条边权为 $0$ 的边，在以它为原点做 Bellman-Ford 即可。

时间复杂度：$O(n\times m)$，空间复杂度：$O(n+m)$。

队列优化 SPFA

关于 SPFA，它死了。

很显然，只有上一轮被更新的节点所连出去的边，才有可能是可以松弛的边，可以用队列维护哪些节点可能引起松弛操作。

SPFA 大多数情况下跑到快，可最差仍然是 $O(n\times m)$ 的。

$$\mathtt{\text{Dijkstra}}$$

优点

时间复杂度低，可以求出单源或者多源最短路。

缺点

一遇到负权就寄。

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主要思想：使用优先队列存储一些访问到的节点的编号和最短路长度，优先队列肯定按最短路长度从小到大。

当取出了一个队头时，如果这个节点没有被取出来过，那么就记录好答案，将它所连出去的边都进行一次松弛。

当松弛 $u\stackrel{w}{\to }v$ 时，如果 $v$ 已经被取出来过，那么就不用放入优先队列了，因为在它之前的节点的最短路长度必然是非严格小于它的，不可能更优。

时间复杂度：$O(m\log m)$，空间复杂度：$O(n+m)$。