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2023-08-05 11:51阅读: 104评论: 0推荐: 0

矩阵运算

合集 - 线性代数(2)

1.矩阵运算2023-08-05

2.动态 dp2024-09-11

矩阵运算

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众所周知，数是可以进行加减乘除的，那矩阵为啥不可以呢？

假设现在我们有两个矩阵 $A$ 和 $B$ ，矩阵大小分别为 $n \times m$ 和 $x \times y$ ，矩阵元素对 $m o d$ 取模。

 const int N = 110, mod = 1e9 + 7; // 矩阵大小和模数
 
struct matrix {
  int a[N][N], n, m; // 存储矩阵和矩阵大小
} ;

基本运算

矩阵加法

令 $A + B = C$ 。

要求： $n = x$ 并且 $m = y$ 。

其实很简单，就是一一对应着加就行，即对于 $1 ⩽ i ⩽ n, 1 ⩽ j ⩽ m$ ， $C_{i, j} = A_{i, j} + B_{i, j}$ 。

所以 $C$ 的大小为 $n \times m$ ，矩阵减法同。

性质

交换律：明显满足，即 $A + B = B + A$ 。
结合律：明显满足，即 $A + B + C = A + (B + C)$ 。

单位矩阵

明显，就是一个大小为 $n \times m$ 的全 $0$ 矩阵。

矩阵加法 Code

时间复杂度： $O (n \times m)$ 。

   matrix operator + (matrix y) { // 重载运算符 +
    matrix z;
    z.n = n, z.m = m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
      for (int j = 1; j <= m; j++)
        z.a[i][j] = a[i][j] + y.a[i][j];
    return z;
  }

矩阵乘法

令 $A \times B = C$ 。

要求： $m = x$ 。

公式：对于 $1 ⩽ i ⩽ n, 1 ⩽ j ⩽ y$ :

C_{i, j} = \sum_{1 ⩽ k ⩽ m} A_{i, k} \times B_{k, j}

似乎看起来没啥用？因为它是在某些特定方面可以进行时间优化(例如用 $O (8 \log n)$ 的时间复杂度求出斐波那契数列的第 $n$ 项)，所以一般就是把它和其他知识点捆绑起来(例如矩阵乘法优化 dp 等)，单独拎出来出的题目很少(大多都是板子)。

性质

交换律：不满足！
- 若 $n = y$ ，交换以后还能乘法，但矩阵大小会变为 $m \times x$ ，与原矩乘后答案不同。
- 当然也有可能 $n \neq y$ ，这样交换以后连矩乘的基本要求都无法满足。
结合律：满足，设还有一个矩阵 $C$ ，大小为 $y \times z$ ， $A \times B \times C = D$ ，则 $D$ 大小为 $n \times z$ ，而 $A \times (B \times C) = A \times E (大小为 x \times z) = D$ 。
分配律：明显满足，设还有一个矩阵 $C$ ，大小为 $y \times z$ ，即 $A \times (B + C) = A \times B + A \times C$ 。

单位矩阵

Link

提到矩乘，就不得不提到它的单位矩阵。

单位矩阵定义：若这个矩阵乘任意一个矩阵 $C$ ，得到的结果都等于 $C$ ，则这个矩阵为单位矩阵。

观察式子，容易推出：当一个大小为 $n \times n$ 的矩阵除了主对角线(从左上到右下)以外的数为 $1$ ，其他都为 $0$ 时，它就是一个可以作为所有大小为 $n \times m$ 的矩阵的单位矩阵。

时间复杂度： $O (x \times y)$ 。

   void Clear (int x, int y, int f) { // 把矩阵大小设为 x * y，矩阵元素都为 f
    n = x, m = y;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
      for (int j = 1; j <= m; j++)
        a[i][j] = f;
  }
  void Unit (int x, int y) { // 构造单位矩阵
    Clear(x, y, 0); // 先清空
    for (int i = 1; i <= n; i++)
      a[i][i] = 1; // 只有主对角线为 1
  }

矩阵乘法 Code

时间复杂度： $O (n \times m \times y)$ 。

   matrix operator * (matrix y) { // 重载运算符 *
    matrix z;
    z.n = n, z.m = y.m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
      for (int j = 1; j <= y.m; j++) {
        z.a[i][j] = 0;
        for (int k = 1; k <= m; k++)
          z.a[i][j] = (z.a[i][j] + 1ll * a[i][k] * y.a[k][j] % mod) % mod; // 套公式
      }
    return z;
  }

矩阵除法

令 $\frac{A}{B} = C$ 。

要求：同矩阵乘法。

由于浮点数不可以取模，数里面除法取模等于乘上除数的逆，所以矩阵除法同矩阵除法，不过是把 $B_{i, j}$ 变成 $B_{i, j}$ 在模 $m o d$ 意义下的逆。

矩乘与它的特殊运算和应用

P3390 矩乘快速幂

给定一个矩阵 $A$ ，大小为 $n \times m$ ，一个指数 $k$ 和一个模数 $m o d$ ，求 $A^{k} % m o d$ 。

要求：矩阵的大小必须为 $n \times n$ 。

既然矩乘有结合律，那么就可以考虑使用类似于整数快速幂的方法以 $O (\log k)$ 的方式求出 $A^{k}$ ，由于一次矩阵乘法需要 $O (n^{3})$ ，所以总时间复杂度为 $O (n^{3} \log k)$ 。

矩乘快速幂 Code

时间复杂度： $O (n^{3} \log k)$ 。

 matrix MATqmod (matrix x, ll y) { // 矩阵乘法快速幂
  matrix sum;
  sum.Unit(x.n, x.m); // 初始化为单位矩阵
  while (y) sum = (y & 1 ? sum * x : sum), x = x * x, y >>= 1;
  return sum;
}

P1349 广义斐波那契数列

P1962 斐波那契数列

广义的斐波那契数列是指形如 $a_{n} = p \times a_{n - 1} + q \times a_{n - 2}$ 的数列。

今给定数列的两系数 $p$ 和 $q$ ，以及数列的最前两项 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ ，另给出两个整数 $n$ 和 $m$ ，试求数列的第 $n$ 项 $a_{n} mod m$ 。

令 $F_{i}$ 表示当前情况下斐波那契数列第 $i$ 项的值。

观察一下，把相邻两项构成一个矩阵，即要从 $f_{i} = [\begin{matrix} F_{i}, F_{i - 1} \end{matrix}]$ 通过操作变为 $f_{i + 1} = [\begin{matrix} F_{i + 1}, F_{i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} p \times F_{i} + q \times F_{i - 1}, F_{i} \end{matrix}]$ ，考虑用矩乘完成。

要能与 $[\begin{matrix} F_{i}, F_{i - 1} \end{matrix}]$ 做矩乘，就需要一个大小为 $2 \times k$ 的矩阵，又因为矩乘之后的矩阵仍然大小为 $1 \times 2$ ，所以 $k = 2$ ，即要求一个矩阵 $A = [\begin{matrix} a, b \\ c, d \end{matrix}]$ ，使得 $A \times f_{i} = f_{i + 1}$ 。

套入公式，就是要求 ${\begin{cases} a \times F_{i} + c \times F_{i - 1} = p \times F_{i} + q \times F_{i - 1} \\ b \times F_{i} + d \times F_{i - 1} = F_{i} \end{cases}$ ，可以推出 ${\begin{cases} a = p \\ b = 1 \\ c = q \\ d = 0 \end{cases}$ ，现在要求 $F_{n}$ ，初始矩阵为 $[\begin{matrix} a_{2}, a_{1} \end{matrix}]$ ，每次乘矩阵 $A = [\begin{matrix} p, 1 \\ q, 0 \end{matrix}]$ 后都会使矩阵两项下标加 $1$ ，特判 $n = 1$ 的情况(答案为 $a_{1}$ )，那么答案就是 $[\begin{matrix} a_{2}, a_{1} \end{matrix}] \times A^{n - 2}$ 取第一个元素即可，需要矩阵乘法快速幂。

普通的其实就相当于 $a_{1} = a_{2} = p = q = 1$ 。

Code

   matrix c, d;
  int n, mod;
  c.Clear(2, 2, 0), d.Clear(1, 2, 0);
  cin >> c.a[1][1] >> c.a[2][1] >> d.a[1][2] >> d.a[1][1] >> n >> mod;
  if (n == 1) {
    cout << d.a[1][2];
    return 0;
  }
  c.a[1][2] = 1, d = d * qmod(c, n - 2);
  cout << d.a[1][1];

完整代码

点击查看最新代码

 #include <bits/stdc++.h>
#define _1 (__int128)1
 
using namespace std;
using ll = long long;
 
void FileIO (string s) {
  freopen((s + ".in").c_str(), "r", stdin);
  freopen((s + ".out").c_str(), "w", stdout);
}
 
const int mod = 1e9 + 7, MATsize = 110; // 矩阵大小和模数
 
struct matrix {
  int a[MATsize][MATsize], n, m; // 存储矩阵和矩阵大小
  void Clear (int x, int y, int f) { // 把矩阵大小设为 x * y，矩阵元素都为 f
    n = x, m = y;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
      for (int j = 1; j <= m; j++)
        a[i][j] = f;
  }
  void Unit (int x, int y) { // 构造单位矩阵
    Clear(x, y, 0); // 先清空
    for (int i = 1; i <= n; i++)
      a[i][i] = 1; // 只有主对角线为 1
  }
  matrix operator + (matrix y) { // 重载运算符 +
    matrix z;
    z.n = n, z.m = m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
      for (int j = 1; j <= m; j++)
        z.a[i][j] = a[i][j] + y.a[i][j];
    return z;
  }
  matrix operator * (matrix y) { // 重载运算符 *
    matrix z;
    z.n = n, z.m = y.m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
      for (int j = 1; j <= y.m; j++) {
        z.a[i][j] = 0;
        for (int k = 1; k <= m; k++)
          z.a[i][j] = (z.a[i][j] + 1ll * a[i][k] * y.a[k][j] % mod) % mod; // 套公式
      }
    return z;
  }
} ;
 
matrix MATqmod (matrix x, ll y) { // 矩阵乘法快速幂
  matrix sum;
  sum.Unit(x.n, x.m); // 初始化为单位矩阵
  while (y) sum = (y & 1 ? sum * x : sum), x = x * x, y >>= 1;
  return sum;
}
 
signed main () {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  // FileIO("");
  return 0;
}

点击查看无注释代码

 #include <bits/stdc++.h>
#define _1 (__int128)1
 
using namespace std;
using ll = long long;
 
void FileIO (string s) {
  freopen((s + ".in").c_str(), "r", stdin);
  freopen((s + ".out").c_str(), "w", stdout);
}
 
const int mod = 1e9 + 7, MATsize = 110;
 
struct matrix {
  int a[MATsize][MATsize], n, m;
  void Clear (int x, int y, int f) {
    n = x, m = y;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
      for (int j = 1; j <= m; j++)
        a[i][j] = f;
  }
  void Unit (int x, int y) {
    Clear(x, y, 0);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
      a[i][i] = 1;
  }
  matrix operator + (matrix y) {
    matrix z;
    z.n = n, z.m = m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
      for (int j = 1; j <= m; j++)
        z.a[i][j] = a[i][j] + y.a[i][j];
    return z;
  }
  matrix operator * (matrix y) {
    matrix z;
    z.n = n, z.m = y.m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
      for (int j = 1; j <= y.m; j++) {
        z.a[i][j] = 0;
        for (int k = 1; k <= m; k++)
          z.a[i][j] = (z.a[i][j] + 1ll * a[i][k] * y.a[k][j] % mod) % mod;
      }
    return z;
  }
} ;
 
matrix MATqmod (matrix x, ll y) {
  matrix sum;
  sum.Unit(x.n, x.m);
  while (y) sum = (y & 1 ? sum * x : sum), x = x * x, y >>= 1;
  return sum;
}
 
signed main () {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  // FileIO("");
  return 0;
}

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	const int N = 110, mod = 1e9 + 7; // 矩阵大小和模数

	struct matrix {
	int a[N][N], n, m; // 存储矩阵和矩阵大小
	} ;

	matrix operator + (matrix y) { // 重载运算符 +
	matrix z;
	z.n = n, z.m = m;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int j = 1; j <= m; j++)
	z.a[i][j] = a[i][j] + y.a[i][j];
	return z;
	}

	void Clear (int x, int y, int f) { // 把矩阵大小设为 x * y，矩阵元素都为 f
	n = x, m = y;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int j = 1; j <= m; j++)
	a[i][j] = f;
	}
	void Unit (int x, int y) { // 构造单位矩阵
	Clear(x, y, 0); // 先清空
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	a[i][i] = 1; // 只有主对角线为 1
	}

	matrix operator * (matrix y) { // 重载运算符 *
	matrix z;
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	for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int j = 1; j <= y.m; j++) {
	z.a[i][j] = 0;
	for (int k = 1; k <= m; k++)
	z.a[i][j] = (z.a[i][j] + 1ll * a[i][k] * y.a[k][j] % mod) % mod; // 套公式
	}
	return z;
	}

	matrix MATqmod (matrix x, ll y) { // 矩阵乘法快速幂
	matrix sum;
	sum.Unit(x.n, x.m); // 初始化为单位矩阵
	while (y) sum = (y & 1 ? sum * x : sum), x = x * x, y >>= 1;
	return sum;
	}

	matrix c, d;
	int n, mod;
	c.Clear(2, 2, 0), d.Clear(1, 2, 0);
	cin >> c.a[1][1] >> c.a[2][1] >> d.a[1][2] >> d.a[1][1] >> n >> mod;
	if (n == 1) {
	cout << d.a[1][2];
	return 0;
	}
	c.a[1][2] = 1, d = d * qmod(c, n - 2);
	cout << d.a[1][1];

	#include <bits/stdc++.h>
	#define _1 (__int128)1

	using namespace std;
	using ll = long long;

	void FileIO (string s) {
	freopen((s + ".in").c_str(), "r", stdin);
	freopen((s + ".out").c_str(), "w", stdout);
	}

	const int mod = 1e9 + 7, MATsize = 110; // 矩阵大小和模数

	struct matrix {
	int a[MATsize][MATsize], n, m; // 存储矩阵和矩阵大小
	void Clear (int x, int y, int f) { // 把矩阵大小设为 x * y，矩阵元素都为 f
	n = x, m = y;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int j = 1; j <= m; j++)
	a[i][j] = f;
	}
	void Unit (int x, int y) { // 构造单位矩阵
	Clear(x, y, 0); // 先清空
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	a[i][i] = 1; // 只有主对角线为 1
	}
	matrix operator + (matrix y) { // 重载运算符 +
	matrix z;
	z.n = n, z.m = m;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int j = 1; j <= m; j++)
	z.a[i][j] = a[i][j] + y.a[i][j];
	return z;
	}
	matrix operator * (matrix y) { // 重载运算符 *
	matrix z;
	z.n = n, z.m = y.m;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int j = 1; j <= y.m; j++) {
	z.a[i][j] = 0;
	for (int k = 1; k <= m; k++)
	z.a[i][j] = (z.a[i][j] + 1ll * a[i][k] * y.a[k][j] % mod) % mod; // 套公式
	}
	return z;
	}
	} ;

	matrix MATqmod (matrix x, ll y) { // 矩阵乘法快速幂
	matrix sum;
	sum.Unit(x.n, x.m); // 初始化为单位矩阵
	while (y) sum = (y & 1 ? sum * x : sum), x = x * x, y >>= 1;
	return sum;
	}

	signed main () {
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
	// FileIO("");
	return 0;
	}

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