欧拉路

合集 - 图论(5)

1.拓扑排序和拓扑序2023-10-072.最短路2023-10-083.最小生成树和次小生成树2023-10-084.连通性与 Tarjan2023-10-08

5.欧拉路2023-10-08

收起

OI-wiki Link

定义

欧拉回路：经过每条边恰好一次后回到起点的路径。

欧拉通路：经过每条边恰好一次后没有回到起点的路径。

欧拉图：具有欧拉回路的图。

半欧拉图：不具有欧拉回路但具有欧拉通路的图。

判别

如果图不连通，必然不是欧拉/半欧拉图。

• 无向图为欧拉图，当且仅当：所有点的度数都是偶数。

• 无向图为半欧拉图，当且仅当：有两个点度数为奇数(这两个点分别就是起点和终点)，其余为偶数。

• 令有向图一个点的度数为它的出度减入度。

  • 有向图为欧拉图，当且仅当：所有点的度数都为 $0$。
  • 有向图为半欧拉图，当且仅当：有两个点度数分别为 $1$ 和 $-1$(这两个点分别就是起点和终点)，其余为 $0$。

找欧拉回/通路

见 OI-wiki，我一直没看懂怎么搞的。