动态规划进阶?

合集 - 动态规划(2)

1.动态规划入门与线性 dp2023-10-10

2.动态规划进阶?2023-10-10

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树形 dp

P1352 没有上司的舞会 经典的节点选择型。

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树形 dp，就是把 dp 建立于树的形态之上，通常 $d{p}_i$ 都是 $i$ 及 $i$ 的子树范围内的最优化属性。

大致可以分类为节点选择型和树上背包型，还有换根 dp 比较恶心。

在 P1352 中，每个节点都可以选或不选，但选出来的点之间不能有边相连。

• 状态：$d{p}_{i,0}$ 表示节点 $i$ 不选的最大欢乐指数，$d{p}_{i,1}$ 表示节点 $i$ 选的最大欢乐指数。
• 转移：令 $so{n}_i$ 表示节点 $i$ 的儿子集合，则 $d{p}_{i,0}=\sum _{1⩽j⩽n\mathrm{\&}\mathrm{\&}j\in so{n}_i}max(d{p}_{j,0},d{p}_{j,1}),d{p}_{i,1}=\sum _{1⩽j⩽n\mathrm{\&}\mathrm{\&}j\in so{n}_i}d{p}_{j,0}+r_i$。
• 拓扑序：首先找到那个没有上司的节点，以它为根，按深度从大到小进行 $dp$，也可以直接边搜索边做。
• 初始状态：没有。
• 目标状态：$max(d{p}_{\mathrm{根},0},d{p}_{\mathrm{根},1})$。

时间复杂度：$O(n)$，空间复杂度：$O(n)$。

状压 dp

CSES1690 Hamiltonian Flights 模板。

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状压 dp，就是把多维状态压缩成一个整数，通常是把每个节点的访问情况通过二进制的形式压缩成整数。

其实还算简单的，配合之前的 dp，将多维度压缩整数，注意细节即可。