字符串基础与 KMP
要提到 KMP 算法，首先得提到字符串相关知识。
字符串相关
概念
- 前缀/后缀：这个很容易理解。
- 真前缀/真后缀：就是非原串的前缀/后缀。
- 子串：从原串中选取连续的一段就是一个子串，空串也算子串。
- 任何子串都是一个前缀的后缀/一个后缀的前缀。
- 周期：当满足 \(s_i=s_{i+x}(1\leqslant i \leqslant |s|-x)\) 时，\(x\) 是 \(s\) 的周期。
- Border：当一个字符串 \(t\)，既是 \(s\) 的前缀，又是 \(s\) 的后缀时，\(t\) 就是 \(s\) 的一个 Border。
性质
- 当一个字符串 \(t\) 为 \(s\) 的 Border 时，\(|s|-|t|\) 为 \(s\) 的一个周期。
- Border 具有传递性，即当 \(x\) 为 \(y\) 的 Border、\(y\) 为 \(z\) 的 Border 时，必然有 \(x\) 为 \(z\) 的 Border。
- Border 传递性 \(2\)：当 \(x\) 为 \(z\) 的 Border、\(y\) 为 \(z\) 的 Border 时，必然有 \(x\) 为 \(y\) 的 Border。
字符串匹配
模板：P3375 【模板】KMP。
令 \(pre(s,i)\) 表示 \(s\) 的长度为 \(i\) 的前缀，\(suf(s,i)\) 表示 \(s\) 的长度为 \(i\) 的后缀。
给定两个字符串 \(s\) 和 \(t\)(\(1\leqslant |s|,|t|\leqslant 10^5\))，现在要查询 \(s\) 在 \(t\) 中的出现位置有哪些。
暴力匹配 \(O(|s| \times |t|)\)，爆炸。
我们拿两个指针 \(i,j\) 表示 \(s[1\cdots i]\) 与 \(t[j-i+1\cdots j]\) 完全相同，\(j\) 在 \(1\sim |t|\) 循环，同时 \(i\) 相应变化，始终满足 KMP 性质：\(suf(pre(t,j),i)=pre(s,i)\)(\(i\) 越大越好)。
在更新时 \(i,j\) 时：
- 若 \(s_{i+1}=t_{j+1}\)，则各自后移，
i++, j++;，当 \(i=n\) 时，\(s\) 已经完全匹配，可以推出它的起始位置等。 - 否则，右移 \(j\)，调整 \(i\)，使得 \(suf(pre(t,j),i)=pre(s,i)\) 仍然满足，那么该如何调整呢？
Next[] 失配数组
在发生不匹配时，我们需要调整 \(i\)，这个可以通过预处理来解决，通常定义为 Next 数组，有时也叫 fail 数组(失配数组)。
nxt[i] = max{k | pre(s, k) = suf(pre(s, i), k)}，即 \(pre(s,i)\) 的最长 Border。
若 \(pre(s,k)\) 为 \(pre(s,i)\) 的 Border，则有：
- \(pre(s,k-1)\) 为 \(pre(s,i-1)\) 的 Border。
- \(s_k=s_i\)。
求解方法
假设 \(pre(s,i-1)\) 的所有 Border 长度为 $k_1 > k_2 > k3 \cdots $。
- 需要找到其中最大的 \(k\) 使得 \(s_{k+1} = s_i\)。
- 此时
nxt[i] = k + 1(即 \(pre(s,i)\) 的最长 Border)。
根据定义和 Border 的传递性，\(pre(s,i-1)\) 的所有 Border 其实就是 \(nxt_{i-1},nxt_{nxt_{i-1}}\cdots\)
- 求 \(nxt_i\) 就是 \(k=nxt_{i-1}\) 开始检查 \(s_{k+1}=s_j\)是否成立，不成立就一直往前找 Next。\(k= nxt_k\) 然后重复上述判断(找到满足条件的最长 Border)。
Code
void get_fail () {
nxt[0] = -1;
for (int i = 2, j = 0; i <= m; i++) {
while (j >= 0 && t[i] != t[j + 1]) j = nxt[j];
nxt[i] = ++j;
}
}
求完了失配数组，剩下就好办了。
KMP Code
for (int i = 1, j = 0; i <= n; i++) {
while (j >= 0 && s[i] != t[j + 1]) j = nxt[j];
j++;
if (j == m) {
cout << i - j + 1 << '\n';
}
}
模板完整代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
string s, t;
int n, m, nxt[N];
void get_fail () {
nxt[0] = -1;
for (int i = 2, j = 0; i <= m; i++) {
while (j >= 0 && t[i] != t[j + 1]) j = nxt[j];
nxt[i] = ++j;
}
}
int main () {
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
cin >> s >> t, n = s.size(), m = t.size(), s = " " + s, t = " " + t;
get_fail();
for (int i = 1, j = 0; i <= n; i++) {
while (j >= 0 && s[i] != t[j + 1]) j = nxt[j];
j++;
if (j == m) {
cout << i - j + 1 << '\n';
}
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
cout << nxt[i] << ' ';
}
return 0;
}
时间复杂度：\(O(|s|+|t|)\)。
字符串的周期
性质里有，而字符串 \(s\) 的最小周期则是 \(|s|-nxt_{|s|}\)。
失配树
顾名思义，就是将 \(i(1\leqslant i \leqslant n)\) 连向 \(nxt_i\) 所形成的树。
这棵树有什么用呢？树上的两个节点 \(x,y\) 的 LCA 就是 \(pre(s,x)\) 和 \(pre(s,y)\) 的最长公共 Border。
而一个节点 \(i\) 的祖先则都是 \(pre(s,i)\) 的 Border。
