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AC 自动机，主要用于解决多模式串(即需要求出出现次数等的串)匹配的问题，基于字典树。

大致

将模式串建到字典树上，对每个字典树上的节点求出失配指针，根据失配指针建立失配树，用失配树来维护模式串出现次数。

具体构建

建立字典树

略。

失配 fail 指针

失配指针用于辅助多模式串匹配。

节点 $x$ 的失配指针意思是其对应字符串 $s$ 的最长可匹配(在字典树中能找到)后缀对应字典树的哪个节点。

由于是最长可匹配后缀，那么我们可以发现，只要我们不断枚举 fail[x], fail[fail[x]] ...，就可以把其每个可匹配后缀都枚举出来。

当字典树上一个节点 $x$ 在后接一个字符 $c$、转移至 $y$ 时(假设已经求出了 $x$ 的 fail 指针)，只需要枚举每个 $x$ 的每个可匹配后缀，判断在其后面加上 $c$ 是否有对应的节点即可。

但这样做的复杂度似乎不太对，考虑优化。

路径压缩优化(字典图)

为了避免反复枚举一个转移 $a\stackrel{c}{\to }b$，可以按照深度去求 fail。枚举 $x$ 和后接的一个字符 $y$ 时，如果 $x$ 没有一个 $y$ 转移，则记录 $tri{e}_{x,y}=tri{e}_{fai{l}_x,y}$，将路径压缩存储下来，否则就更新 $fai{l}_{tri{e}_{x,y}}=tri{e}_{fai{l}_x,y}$。

由于这个操作改变了字典树的结构，所以也被称为建立字典图。

建立 fail 树

求出 fail 后，一般都需要用 fail 树来辅助维护答案。

顾名思义，就是以 $fai{l}_x$ 为 $x$ 的父亲搭建出的一棵树，其性质是如果 $x$ 对应字符串被成功匹配了一次，那么其父亲也必然会被成功匹配一次，可以用求子树内权值和的方式来求出现次数。

至此，AC 自动机的前置搭建已经完成，那么就是处理匹配的问题了。

处理匹配

仍然是在字典图上面处理，求出答案后把标记打在失配树上，最后用失配树来处理答案。

假设现在匹配到了 $x$ 这个节点，后接一个字符 $y$，如果字典图上有这个转移则直接转移过去，否则转移到 $tri{e}_{fai{l}_x,y}$ 去，每接一个字符都要记得在失配树上对应节点打上一个标记。

最后求答案即可。

Code

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define _1 (__int128)1
 
using namespace std;
using ll = long long;
 
void FileIO (const string s) {
  freopen((s + ".in").c_str(), "r", stdin);
  freopen((s + ".out").c_str(), "w", stdout);
}
 
const int N = 2e5 + 10;
 
int n, trie[N][30], ndcnt, fail[N], cnt[N], ans[N];
string s;
vector<int> id[N], g[N];
pair<int, int> dfn[N];
 
void Insert (string s, int x) {
  int now = 0;
  for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
    if (!trie[now][s[i] - 'a']) trie[now][s[i] - 'a'] = ++ndcnt, dfn[ndcnt] = {i, ndcnt};
    now = trie[now][s[i] - 'a'];
  }
  id[now].push_back(x);
}
 
void Get (int x) {
  for (int i : g[x])
    Get(i), cnt[x] += cnt[i];
  for (int i : id[x])
    ans[i] = cnt[x];
}
 
signed main () {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  // FileIO("");
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    cin >> s, Insert(s, i);
  cin >> s;
  sort(dfn + 1, dfn + ndcnt + 1);
  for (int i = 1; i <= ndcnt; i++) {
    int x = dfn[i].second;
    for (int j = 0; j < 26; j++) {
      if (trie[x][j])
        fail[trie[x][j]] = trie[fail[x]][j];
      else
        trie[x][j] = trie[fail[x]][j];
    }
  }
  for (int i = 1; i <= ndcnt; i++)
    g[fail[i]].push_back(i);
  for (int i = 0, j = 0; i < s.size(); i++) {
    if (trie[j][s[i] - 'a']) j = trie[j][s[i] - 'a'];
    else j = trie[fail[j]][s[i] - 'a'];
    cnt[j]++;
  }
  Get(0);
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    cout << ans[i] << '\n';
  return 0;
}

例题

模板 和 模板+稍微修改，模板还有两个弱化版。

练习题：病毒 | 阿狸的打字机 | 文本生成器。