2024-07-20 13:57阅读: 17评论: 0推荐: 0

P3588 PUS 题解

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PUS

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题意

给出三个整数 $n, s, m$ ，请你构造一个整数数组 $a$ 满足 $1 ⩽ a_{i} ⩽ 10^{9} (1 ⩽ i ⩽ n)$ 以及 $m$ 个约束条件，或判断无解。 $a$ 数组中 $s$ 个数已经给出（保证合法）。

$m$ 个约束条件格式如下： $l, r, k, x_{1}, x_{2} \dots x_{k}$ ，表示对于 $\forall i, l ⩽ i ⩽ r, i \notin x$ ，都有 $a_{j} > a_{i} (j \in x)$ 。

如果存在一个满足要求的数组 $a$ ，输出 TAK，然后在下一行输出任意一种满足要求的 $a$ ；否则输出 NIE。

数据范围

$1 ⩽ s ⩽ n ⩽ 10^{5}, 1 ⩽ m ⩽ 2 \times 10^{5}$ 。
$1 ⩽ l < r ⩽ n, 1 ⩽ k ⩽ r - l$ 。
$l ⩽ x_{1} < x_{2} < \dots < x_{k} ⩽ r$ 。
$\sum k ⩽ 3 \times 10^{5}$ 。

思路

线段树优化建图。

初步思路：将约束条件转为建图

题目要求构造一个合法的 $a$ 数组，可以很显然的发现，当你从大到小的确定 $a$ 中的元素时， $a_{i}$ 越大越好。

那么我们可以根据约束条件，建出一张由较大元素连向较小元素的有向图，最后根据这张图即可构造 $a$ 数组(用 $m i_{i}$ 表示所有连向它的元素的 $a_{j}$ 最小值，那么 $a_{i}$ 最大就为 $m i_{i} - 1$ )。

如果是暴力建图，我们需要将每个 $x$ 中的元素都连向其他在 $[l, r]$ 中却不在 $x$ 中的元素，很明显边的数量是 $n^{2}$ 级别的，无法接受。

建图的优化：集中点

如果做过 abc270_f Transportation 的话，你可以想到对于每个约束条件都建一个集中节点 $i d$ ，将每个在 $x$ 中的元素都连向 $i d$ ，再将 $i d$ 连向每个在 $[l, r]$ 中却不在 $x$ 中的元素，边的数量便变成了 $O (m \times n + \sum k)$ ，似乎更差劲了。

别着急，这都是为了为下一步优化做铺垫。

注意有一个细节，题目中约束条件是严格大于，所以 $a_{i} = m i_{i} - 1$ （参考上方），但对于这些集中点来说，他们并不用严格小于连向它的元素，即 $m i_{i} = a_{i}$ ，需要特别注意。

建图再次优化：线段树优化建图

可以发现， $i d$ 暴力连向每个在 $[l, r]$ 中却不在 $x$ 中的元素的复杂度过大，但是我们能发现，与其使用暴力连单点，我们不如转换为连接区间，这样就可以使用线段树优化建图。

由于题目保证 $\sum k ⩽ 3 \times 10^{5}$ ，可以发现区间数量也是这个级别（只用考虑相邻两个 $x$ 之间的区间 $(x_{i}, x_{i + 1})$ ），那么就好办了。

附：线段树优化建图的模板。

最终：整理答案和判断无解

这个很简单，使用拓扑排序即可解决，注意上面所说的细节。

无解情况如下：

在最优秀的构造方案中，你的 $a_{i}$ 肯定是尽量越大越好，所以当你发现某个 $a_{i} < 1$ ，那么必然是无解的。
如果你发现最初已经给定了某个元素 $a_{i}$ 并且 $m i_{i} - 1 < a_{i}$ ，那么也是不合法的。
如果出现了环，那么也是不合法的。

那么本题就结束了，还不理解就看代码。

复杂度

时间： $O (n + m + \sum k \log n)$ 。
空间： $O (n + m)$ 。

Code

点击查看代码

 #include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
using ll = long long;
 
const int N = 1e5 + 10, M = 2e5;
 
// ls 和 rs 用于记录线段树左右儿子，a 用于记录方案，b 是上文所说的 x，cnb 用于拓扑排序，mi 见上文
int n, m, s, rt, ncnt, ls[N * 3 + M], rs[N * 3 + M], a[3 * N + M], b[N], cnb[3 * N + M], mi[3 * N + M];
vector<int> g[N * 3 + M];
queue<int> q;
 
//----------------------------------------------------------------- 线段树优化建图
void Add_edge (int x, int y) {
  g[y].push_back(x), cnb[x]++;
}
 
void build (int id, int l, int r) {
  if (l == r) {
    ls[id] = l;
    Add_edge(l, id);
    return ;
  }
  int mid = (l + r) >> 1;
  ls[id] = ++ncnt, rs[id] = ++ncnt;
  build(ls[id], l, mid), build(rs[id], mid + 1, r);
  Add_edge(ls[id], id), Add_edge(rs[id], id);
}
 
void modify (int id, int l, int r, int x, int y, int u) {
  if (x <= l && r <= y) {
    Add_edge(id, u);
    return ;
  }
  if (l > y || r < x)
    return ;
  int mid = (l + r) >> 1;
  modify(ls[id], l, mid, x, y, u), modify(rs[id], mid + 1, r, x, y, u);
}
//----------------------------------------------------------------- 线段树优化建图
 
int main () {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> n >> s >> m, ncnt = n;
  rt = ++ncnt, build(rt, 1, n);
  for (int i = 1, x, y; i <= s; i++)
    cin >> x >> y, a[x] = y; // 最初给定的元素直接赋值即可
  for (int x, k; m--; ) {
    cin >> b[0] >> x >> k, ncnt++, b[0]--;
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
      cin >> b[i], g[b[i]].push_back(ncnt), cnb[ncnt]++;
      if (b[i] != b[i - 1] + 1) //只用管相邻两个元素之间的区间
        modify(rt, 1, n, b[i - 1] + 1, b[i] - 1, ncnt);
    }
    if (x != b[k]) // 最后一个区间别漏了
      modify(rt, 1, n, b[k] + 1, x, ncnt);
  }
  for (int i = 1; i <= ncnt; i++) // 初始化为 1e9 + 1 是为了方便下方减一
    mi[i] = 1e9 + 1;
  q.push(rt);
  while (q.size()) {
    int x = q.front();
    q.pop();
    if (a[x]) {// 初始时有数
      if (mi[x] - 1 < a[x]) { // 判断无解情况 #2
        cout << "NIE";
        return 0;
      }
    } else {
      a[x] = mi[x] - (x <= n); // 细节：集中点 a[i] = mi[i]
      if (a[x] <= 0) { // 判断无解情况 #1
        cout << "NIE";
        return 0;
      }
    }
    for (int i : g[x]) { // 拓扑排序都会写吧
      mi[i] = min(mi[i], a[x]), cnb[i]--;
      if (!cnb[i])
        q.push(i);
    }
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (a[i] <= 0) { // 如果有环的话，肯定有元素没被赋值。判断无解情况 #1
      cout << "NIE";
      return 0;
    }
  cout << "TAK\n";
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    cout << a[i] << ' ';
  return 0;
}

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本文作者：wnsyou

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