P3588 PUS 题解
PUS
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题意
给出三个整数 \(n,s,m\)，请你构造一个整数数组 \(a\) 满足 \(1\leqslant a_i \leqslant 10^9(1\leqslant i \leqslant n)\) 以及 \(m\) 个约束条件，或判断无解。\(a\) 数组中 \(s\) 个数已经给出（保证合法）。
\(m\) 个约束条件格式如下：\(l,r,k,x_1,x_2\cdots x_k\)，表示对于 \(\forall i,l\leqslant i \leqslant r,i \not\in x\)，都有 \(a_j > a_i(j\in x)\)。
如果存在一个满足要求的数组 \(a\)，输出 TAK，然后在下一行输出任意一种满足要求的 \(a\)；否则输出 NIE。
数据范围
- \(1\leqslant s\leqslant n \leqslant 10^5, 1\leqslant m \leqslant 2 \times 10^5\)。
- \(1\leqslant l < r \leqslant n, 1\leqslant k \leqslant r - l\)。
- \(l \leqslant x_1 < x_2 < \cdots < x_k \leqslant r\)。
- \(\sum k \leqslant 3 \times 10^5\)。
思路
线段树优化建图。
初步思路：将约束条件转为建图
题目要求构造一个合法的 \(a\) 数组，可以很显然的发现，当你从大到小的确定 \(a\) 中的元素时，\(a_i\) 越大越好。
那么我们可以根据约束条件，建出一张由较大元素连向较小元素的有向图，最后根据这张图即可构造 \(a\) 数组(用 \(mi_i\) 表示所有连向它的元素的 \(a_{j}\) 最小值，那么 \(a_i\) 最大就为 \(mi_i - 1\))。
如果是暴力建图，我们需要将每个 \(x\) 中的元素都连向其他在 \([l,r]\) 中却不在 \(x\) 中的元素，很明显边的数量是 \(n^2\) 级别的，无法接受。
建图的优化：集中点
如果做过 abc270_f Transportation 的话，你可以想到对于每个约束条件都建一个集中节点 \(id\)，将每个在 \(x\) 中的元素都连向 \(id\)，再将 \(id\) 连向每个在 \([l,r]\) 中却不在 \(x\) 中的元素，边的数量便变成了 \(O(m \times n + \sum k)\)，似乎更差劲了。
别着急，这都是为了为下一步优化做铺垫。
注意有一个细节，题目中约束条件是严格大于，所以 \(a_i = mi_i - 1\)（参考上方），但对于这些集中点来说，他们并不用严格小于连向它的元素，即 \(mi_i=a_i\)，需要特别注意。
建图再次优化：线段树优化建图
可以发现，\(id\) 暴力连向每个在 \([l,r]\) 中却不在 \(x\) 中的元素的复杂度过大，但是我们能发现，与其使用暴力连单点，我们不如转换为连接区间，这样就可以使用线段树优化建图。
由于题目保证 \(\sum k \leqslant 3 \times 10^5\)，可以发现区间数量也是这个级别（只用考虑相邻两个 \(x\) 之间的区间 \((x_i, x_{i+1})\)），那么就好办了。
附：线段树优化建图的模板。
最终：整理答案和判断无解
这个很简单，使用拓扑排序即可解决，注意上面所说的细节。
无解情况如下：
-
在最优秀的构造方案中，你的 \(a_i\) 肯定是尽量越大越好，所以当你发现某个 \(a_i < 1\)，那么必然是无解的。
-
如果你发现最初已经给定了某个元素 \(a_i\) 并且 \(mi_i - 1 < a_i\)，那么也是不合法的。
-
如果出现了环，那么也是不合法的。
那么本题就结束了，还不理解就看代码。
复杂度
- 时间：\(O(n+m+\sum k \log n)\)。
- 空间：\(O(n + m)\)。
Code
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 1e5 + 10, M = 2e5;
// ls 和 rs 用于记录线段树左右儿子，a 用于记录方案，b 是上文所说的 x，cnb 用于拓扑排序，mi 见上文
int n, m, s, rt, ncnt, ls[N * 3 + M], rs[N * 3 + M], a[3 * N + M], b[N], cnb[3 * N + M], mi[3 * N + M];
vector<int> g[N * 3 + M];
queue<int> q;
//----------------------------------------------------------------- 线段树优化建图
void Add_edge (int x, int y) {
g[y].push_back(x), cnb[x]++;
}
void build (int id, int l, int r) {
if (l == r) {
ls[id] = l;
Add_edge(l, id);
return ;
}
int mid = (l + r) >> 1;
ls[id] = ++ncnt, rs[id] = ++ncnt;
build(ls[id], l, mid), build(rs[id], mid + 1, r);
Add_edge(ls[id], id), Add_edge(rs[id], id);
}
void modify (int id, int l, int r, int x, int y, int u) {
if (x <= l && r <= y) {
Add_edge(id, u);
return ;
}
if (l > y || r < x)
return ;
int mid = (l + r) >> 1;
modify(ls[id], l, mid, x, y, u), modify(rs[id], mid + 1, r, x, y, u);
}
//----------------------------------------------------------------- 线段树优化建图
int main () {
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
cin >> n >> s >> m, ncnt = n;
rt = ++ncnt, build(rt, 1, n);
for (int i = 1, x, y; i <= s; i++)
cin >> x >> y, a[x] = y; // 最初给定的元素直接赋值即可
for (int x, k; m--; ) {
cin >> b[0] >> x >> k, ncnt++, b[0]--;
for (int i = 1; i <= k; i++) {
cin >> b[i], g[b[i]].push_back(ncnt), cnb[ncnt]++;
if (b[i] != b[i - 1] + 1) //只用管相邻两个元素之间的区间
modify(rt, 1, n, b[i - 1] + 1, b[i] - 1, ncnt);
}
if (x != b[k]) // 最后一个区间别漏了
modify(rt, 1, n, b[k] + 1, x, ncnt);
}
for (int i = 1; i <= ncnt; i++) // 初始化为 1e9 + 1 是为了方便下方减一
mi[i] = 1e9 + 1;
q.push(rt);
while (q.size()) {
int x = q.front();
q.pop();
if (a[x]) {// 初始时有数
if (mi[x] - 1 < a[x]) { // 判断无解情况 #2
cout << "NIE";
return 0;
}
} else {
a[x] = mi[x] - (x <= n); // 细节：集中点 a[i] = mi[i]
if (a[x] <= 0) { // 判断无解情况 #1
cout << "NIE";
return 0;
}
}
for (int i : g[x]) { // 拓扑排序都会写吧
mi[i] = min(mi[i], a[x]), cnb[i]--;
if (!cnb[i])
q.push(i);
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (a[i] <= 0) { // 如果有环的话，肯定有元素没被赋值。判断无解情况 #1
cout << "NIE";
return 0;
}
cout << "TAK\n";
for (int i = 1; i <= n; i++)
cout << a[i] << ' ';
return 0;
}
