CF1935D Exam in MAC 题解

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Exam in MAC

题意

$t$ 组数据。

给定一个大小为 $n$ 的集合 $s$ 和一个整数 $c$，保证 $0⩽s_i⩽c(1⩽i⩽n)$。

求有多少对整数数对 $(x,y)$，满足：

• $0⩽x⩽y⩽c$。
• $x+y\notin s$ 且 $y-x\notin s$。

数据范围

• $1⩽n⩽3\times {10}^5,1⩽c⩽{10}^9$。
• $0⩽s_i⩽c(1⩽i⩽n)$​。
• $s_i<s_{i+1}(1⩽i<n)$。

思路

容斥题。

求不满足两个条件的数对个数，可以转化为总数对个数减满足其中任意一个条件(即 $x+y\in s$ 或 $y-x\in s$)的数对个数，再加满足两个条件的数对个数。

1. 总数对个数：对于 $x=0$，$y$ 有 $c+1$ 种取法；对于 $x=1$，$y$ 有 $c$ 种取法……总个数为 $\frac{(c+2)\times (c+1)}{2}$。
2. 满足 $x+y\in s$ 的数对个数：由于 $s$ 中的元素互不相同，那么只要分别处理每个 $x+y=s_i$ 的数对个数即可。注意 $x⩽y$，总个数为 $\lfloor \frac{s_i}{2}\rfloor +1$。
3. 满足 $y-x\in s$ 的数对个数：同理，也只需要分别处理每个 $y-x=s_i$ 的数对个数即可。转换式子，$y=x+s_i$，由于 $0⩽y⩽c$，所以 $0⩽x⩽c-s_i$，总个数为 $c-s_i+1$。
4. 满足 $x+y\in s$ 且 $y-x\in s$ 的数对个数：假设 $x+y=s_i,y-x=s_j$，推一下式子，可得 $\{\begin{array}{l}2\times x=s_i-s_j\\ 2\times y=s_i+s_j\end{array}$。由于 $x$ 和 $y$ 都是整数，则 $s_i-s_j$ 和 $s_i+s_j$ 都必须是偶数。易得当 $s_i$ 和 $s_j$ 奇偶性相同时存在数对 $(x,y)$。很明显，$y=\frac{s_i+s_j}{2}⩽c$。令 $a$ 为 $s$ 中元素的奇数个数，$b$ 为 $s$ 中元素的偶数个数，总个数为 $\frac{(a+1)\times a}{2}+\frac{(b+1)\times b}{2}$​。

记得答案要开 long long。

复杂度

• 时间：$O(n)$。
• 空间：$O(1)$。

Code

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#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
int T, n, c, sum[2]; // sum[0] 记录偶数个数，sum[1] 记录奇数个数
long long ans; // 答案开 long long
 
void Solve () {
  cin >> n >> c;
  ans = 1ll * (c + 2) * (c + 1) / 2; // 初始数对个数
  for (int i = 1, x; i <= n; i++) {
    cin >> x, ans -= x / 2 + 1 + c - x + 1, sum[x % 2]++; // 减去满足任意一个条件的数对个数
  }
  cout << ans + 1ll * (sum[0] + 1) * sum[0] / 2 + 1ll * (sum[1] + 1) * sum[1] / 2; // 加上满足两个条件的数对个数
  sum[0] = sum[1] = 0;
}
 
int main () {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  for (cin >> T; T--; Solve(), cout << '\n') {}
  return 0;
}