arc164_a Ternary Decomposition 题解

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Ternary Decomposition

题意

共 $T$ 组数据，对于每组数据，给出两个整数 $n$ 和 $k$，问是否存在一个长度为 $k$ 的非负整数序列 $a$，使得 $\sum _{1⩽i⩽k}{3}^{a_i}=n$，若存在，输出 Yes，否则输出 No。

数据范围

• $1⩽T⩽{10}^5$。
• $1⩽k⩽n⩽{10}^{18}$。

思路

整体思路类似 CF1095C，把 $n$ 转为三进制。

首先判断一下，$n$ 最多只能分为 $n$ 个 $1$ 相加，若 $n<k$，则必然不成立(虽然题目保证了 $n⩾k$)。

令 $n=(\overline{x_1{x}_2{x}_3\cdots x_m}{)}_3$，则 $a$ 的长度(设为 $t$)至少为 $\sum _{1⩽i⩽m}{x}_i$，当 $t>k$ 时，很明显也不成立，当 $t=k$ 时成立，那么当 $t<k$ 时呢？

若消除一个 $x^i(i>0)$，则需要用 $3$ 个 $x^{i-1}$ 来替代，会使 $t$ 加 $2$，那么剩下一种情况就推出来了，当 $k-t$ 为偶数时，成立。

整理一下

• 当 $n<k$ 时，不成立。
• 当 $n⩾k$ 时，令 $n=(\overline{x_1{x}_2{x}_3\cdots x_m}{)}_3$，$t=\sum _{1⩽i⩽m}{x}_i$；
  • 当 $t>k$ 时，不成立。
  • 当 $t=k$ 时，成立。
  • 当 $t<k$ 时，若 $t\equiv k(\mathrm{mod}2)$，则成立；否则不成立。

Code

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#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
int t;
long long n, k, s;
 
int main () {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  for (cin >> t; t; t--, s = 0) {
    cin >> n >> k;
    /* if (k > n) { 题目已经保证 n >= k 了，不必要。
      cout << "No\n";
      continue;
    } */
    while (n) { // 三进制分解
      s += n % 3, n /= 3;
    }
    cout << (s <= k && s % 2 == k % 2 ? "Yes" : "No") << '\n'; // 各情况分析见上
  }
  return 0;
}