abc275_f Erase Subarrays 题解

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Erase Subarrays

题意

有一个长度为 $n$ 的整数序列 $a$，你可以执行以下操作若干次（可以不执行）：

• 选择序列的一个子段，将子段中的每个数变为 $0$。

对于 $1⩽i⩽m$，请求出是否存在一种操作方法使得 $(\sum _{1⩽j⩽n}{a}_j)=i$，若存在，输出最小操作次数；否则输出 -1。

数据范围

• $1⩽n,m⩽3000$。
• $1⩽a_i⩽3000$。

思路

一眼 dp，我用的是子序列 dp。

说是将序列子段的数变为 $0$，其实可以看作保留一些数。

• 状态：$d{p}_{i,j}$ 表示最后选取数了第 $i$ 个数且数字和为 $j$。
  • 数字和最大有 $9\times {10}^6$，总空间 $2.7\times {10}^9$，MLE？
  • NO~，由于 $m$ 最大只有 $3000$，所以第二维也只要开到 $3000$ 即可。
• 转移：两种情况分类讨论。
  • 选择上一个数，即 $d{p}_{i-1,j-a_i}$。
  • 不选上一个数，即 $\underset{1⩽k<i-1}{min}(d{p}_{k,j-a_i}+1)$，因为上一个数不选，所以中间需要一次操作，需 $+1$。
  • 取两种情况最小值即可。
  • 一个小问题，第二中情况需要 $O(n)$ 查找，TLE，所以要用前缀最小值优化。
• 初始状态：$d{p}_{0,0}=0$，而对于 $1⩽i⩽m$，$d{p}_{0,i}$ 需赋值极大值(推荐使用 $n$)。
• 目标状态(回答询问)：$min(\underset{1⩽i⩽n}{min}(d{p}_{i,k}+1),d{p}_{n,k})$。
  • 假设当前回答的是第 $k$ 组询问。
  • 解释：如果没有选择最后一个数，那么序列的后缀必然需要一次操作，所以分开考虑。

复杂度

• 时间：$O(n\times m)$。
• 空间：$O(n\times m)$。

Code

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
const int N = 3e3 + 10;
 
int n, x, m, dp[N][N], sum[N][N], ans; // sum 维护前缀最小值
 
int main () {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= m; i++) { // 赋值极大值
    sum[0][i] = dp[0][i] = n;
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> x;
    for (int j = 0; j < x; j++) {
      dp[i][j] = n; // 数字和小于 x 的没有意义，赋值极大值
    }
    for (int j = x; j <= m; j++) { // 转移
      dp[i][j] = dp[i - 1][j - x];
      if (i >= 2) {
        dp[i][j] = min(dp[i][j], sum[i - 2][j - x] + 1);
      }
    }
    for (int j = 0; j <= m; j++) {
      sum[i][j] = min(sum[i - 1][j], dp[i][j]); // 随时维护前缀最小值
    }
  }
  for (int i = 1; i <= m; i++) { // 处理询问
    ans = n;
    for (int j = n; j; j--) {
      ans = min(ans, dp[j][i] + (j < n));
    }
    cout << (ans < n ? ans : -1) << '\n';
  }
  return 0;
}