abc274_d Robot Arms 2 题解

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Robot Arms 2

题意

有一个长度为 $n$ 的整数序列 $a$ 和两个整数 $x$ 与 $y$，你要在平面直角坐标系上放置 $n+1$ 个点($p_1,p_2,\cdots p_{n+1}$)，要求：

• $p_1=(0,0),p_2=(a_1,0),p_{n+1}=(x,y)$。
• 对于 $1⩽i⩽n$，$p_i$ 与 $p_{i+1}$ 的距离为 $a_i$。
• 对于 $1⩽i⩽n$，线段 $p_i{p}_{i+1}$ 与线段 $p_{i+1}{p}_{i+2}$ 构成一个直角。

问：是否存在一种放点的方案满足要求，如果存在，输出 Yes；否则输出 No。

数据范围

• $1⩽n⩽{10}^3$。
• $1⩽a_i⩽10(1⩽i⩽n)$。
• $-{10}^4⩽x,y⩽{10}^4$。

思路

一眼 dp，如果把坐标 $x$ 和 $y$ 放一起考虑，MLE 和 TLE 等着你。

线段构成直角？可以发现对于所有下标为奇数的边必然与 $x$ 轴平行，而下标为偶数的边与 $y$ 轴平行。

所以可以把 $x$ 和 $y$ 分开考虑，然后就是简单的可行性 dp 了。

注意坐标可能为负数，需要将坐标偏移。

复杂度

以下 $V$ 表示 $x$ 和 $y$ 的范围的大小，即 $2\times {10}^4$。

• 时间：$O(n\times V)$。
• 空间：$O(n+V)$。

Code

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#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
const int N = 2e4 + 10, P = 1e4, M = 510; // 注意空间
 
int t, n, m, x, y, z, a[M], b[M];
bool dp[N][3][3];
 
int main () {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> t >> x >> y >> z; // 第一条边需要特殊处理
  x += P, y += P, dp[P + z][0][0] = dp[P][0][1] = 1;
  for (int i = 2; i <= t; i++) {
    cin >> z;
    if (i % 2) {
      a[++n] = z; // 存储奇数边
    } else {
      b[++m] = z; // 存储偶数边
    }
  }
  for (int i = 1; i <= m; i++) { // 很显然 m >= n
    for (int j = 0; j <= P * 2; j++) {
      if (i <= n) {
        dp[j][1][0] = 0; // 滚动数组秀操作
        if (j >= a[i]) {
          dp[j][1][0] = dp[j - a[i]][0][0];
        }
        if (j + a[i] <= 2 * P) {
          dp[j][1][0] |= dp[j + a[i]][0][0];
        }
      }
      if (i <= m) {
        dp[j][1][1] = 0;
        if (j >= b[i]) {
          dp[j][1][1] = dp[j - b[i]][0][1];
        }
        if (j + b[i] <= 2 * P) {
          dp[j][1][1] |= dp[j + b[i]][0][1];
        }
      }
    }
    for (int j = 0; j <= P * 2; j++) {
      if (i <= n) {
        swap(dp[j][1][0], dp[j][0][0]);
      }
      if (i <= m) {
        swap(dp[j][1][1], dp[j][0][1]);
      }
    }
  }
  cout << (dp[x][0][0] && dp[y][0][1] ? "Yes" : "No"); // x 和 y 都需要满足
  return 0;
}