abc260_e At Least One 题解

合集 - 题解(48)

1.CSES 1667 Message Route 题解2023-02-132.P3956 棋盘 题解2023-02-223.abc233_f Swap and Sort 题解2023-03-034.abc233_e Σ[k=0..10^100]floor(X／10^k) 题解2023-03-035.abc233_d Interval 题解2023-03-036.abc233_c Product 题解2023-03-017.abc249_f Ignore Operations 题解2023-04-168.abc249_d Index Trio 题解2023-04-169.abc248_e K-colinear Line 题解2023-04-1310.abc247_f Cards 题解2023-04-1211.CF1066C Books Queries 题解2023-03-1412.P1038 神经网络 题解2023-03-1413.SeekLuna P1362 拓扑排序 3 题解2023-03-1414.abc232_e Rook Path 题解2023-03-0315.abc235_e MST + 1 题解2023-05-1716.abc234_e Arithmetic Number 题解2023-05-1717.P8786 李白打酒加强版 题解2023-05-1718.abc235_d Multiply and Rotate 题解2023-05-1719.CF1095D Circular Dance 题解2023-05-1720.P6201 & P1985 Fliptile S 题解2023-05-1721.CF1183C Computer Game 题解2023-05-1722.CF1095E Almost Regular Bracket Sequence 题解2023-05-1723.abc256_e Takahashi's Anguish 题解2023-05-1724.abc260_g Scalene Triangle Area 题解2023-05-1625.P8714 填空问题 题解2023-05-0926.abc252_d Distinct Trio 题解2023-04-2927.abc252_f Bread 题解2023-04-2328.abc253_e Distance Sequence 题解2023-04-2329.abc250_e Prefix Equality 题解2023-04-1630.abc250_d 250-like Number 题解2023-04-1631.arc164_a Ternary Decomposition 题解2023-07-1232.abc275_f Erase Subarrays 题解2023-06-0233.abc275_e Sugoroku 4 题解2023-05-3134.abc274_d Robot Arms 2 题解2023-05-3135.abc260_f Find 4-cycle 题解2023-05-24

36.abc260_e At Least One 题解2023-05-24

37.abc273_e Notebook 题解2023-05-2438.abc271_f XOR on Grid Path 题解2023-05-2439.abc271_e Subsequence Path 题解2023-05-2240.abc271_c Manga 题解2023-05-2241.abc269_f Numbered Checker 题解2023-05-1842.abc270_f Transportation 题解2023-05-1743.CF1077E Thematic Contests 题解2023-05-1744.CF1935D Exam in MAC 题解2024-04-0145.CF1144G Two Merged Sequences 题解2024-06-1546.joi2022_yo2_c 国土分割 (Land Division) 题解2024-07-0947.P3588 PUS 题解2024-07-2048.CF1946F Nobody is needed 题解2024-08-03

收起

At Least One

题意

给定一个整数 $m$ 和 $n$ 对数 $(a_i,b_i)$，我们定义一个 $f(x)$ 函数表示满足以下要求的整数序列数量：

• 整数序列为 $(1,2,3\cdots m)$ 的一个子段且序列长度为 $x$。
• 对于 $1⩽i⩽n$，满足 $a_i$ 或者 $b_i$ 在整数序列中出现过(可以都出现，不可以都不出现)。

求 $f(1),f(2)\cdots f(m)$。

数据范围

• $1⩽n⩽2\times {10}^5$。
• $2⩽m⩽2\times {10}^5$。
• $1⩽a_i<b_i⩽M$。

思路

暴力

枚举左右端点，判断是否满足要求，统计答案。

时间复杂度：$O(m^2\times n)$。

优化

枚举左右端点就 $T$ 了，但我们能够发现：如果 $(1,2,3\cdots m)$ 的一个区间 $[l,r]$ 满足要求，则：

• 对于所有 $1⩽i⩽l,r⩽j⩽m$，区间 $[i,j]$ 必然满足要求。

也就是说，对于每个左端点为 $i$，它对答案的贡献必然是一个区间。

枚举左端点，对于每个左端点 $i$ 找到最小的 $j$ 使得区间 $[i,j]$ 满足要求，那么 $f(j-i+1),f((j+1)-i+1)\cdots f(m-i+1)$ 都要加一，这个很明显可以用差分维护。

对了，这个只能提供常数优化，重要的还是思想。

最终正解

枚举左端点 $i$ 没问题，但暴力查找最小的 $j$ 是会超时的，怎样优化这个 $O(n\times m)$ 呢？

又是一顿观察，我们可以发现：随着 $i$ 从小到大，最小的 $j$ 是单调不减的，可以考虑使用双指针，左指针每次加 $1$，那么右指针怎么更新呢？

• 很显然，对于一个 $1⩽k⩽n$，如果 $a_k⩾i+1$，那么对于它来说，右指针并不需要移动，只需保持 $j$ 就行了。
• 反之，如果 $a_k<i+1$，那么 $j$ 至少也要移动到 $b_k$ 去，即 $j⩾b_k$。
• 而如果 $b_k<i$，那么就可以退出 $i$ 循环了，后面的必然都不合法。

做法就出来了，先预处理出当左端点为 $i$ 时，右端点至少为几，假设用 $c$ 数组存储。

• 对于每个 $1⩽i⩽n$，$c_{a_i+1}=max(c_{a_i+1},b_i)$。

然后就是枚举左端点 $i$，枚举的同时更新 $c_i$，取前缀最大值即可，注意左端点最大为 $\underset{1⩽i⩽n}{min}\{b_i\}$。

复杂度

• 时间：$O(n+m)$。
• 空间：$O(m)$。

Code

挑战最短代码，不服来战。

点击查看代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
 
using namespace std;
 
const int N = 2e5 + 10;
 
int n, m, a, b, c[N], mr, ans[N];
 
int main () {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> n >> m;
  mr = m;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> a >> b;
    c[0] = max(c[0], a), c[a + 1] = max(c[a + 1], b), mr = min(mr, b); // i = 1 时右端点至少为 max(a[i])，更新 c 数组
  }
  for (int i = 1; i <= mr; i++) {
    c[i] = max({c[i - 1], c[i], i}); // 前缀最大值
    ans[c[i] - i + 1]++, ans[m - i + 2]--; // 差分
  }
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    ans[i] += ans[i - 1]; // 还原差分数组
    cout << ans[i] << ' ';
  }
  return 0;
}