abc271_f XOR on Grid Path 题解

合集 - 题解(48)

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38.abc271_f XOR on Grid Path 题解2023-05-24

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XOR on Grid Path

题意

有一个 $n\times n$ 的整数矩阵，第 $i$ 行 $j$ 列的数字为 $a_{i,j}$。

你站在 $(1,1)$，每次你可以从 $(x,y)$ 走到 $(x,y+1)$ 或 $(x+1,y)$，你要走到 $(n,n)$，求有多少条路径使得路径上的每个数异或和为 $0$。

数据范围

• $2⩽n⩽20$
• $0⩽a_{i,j}⩽2^{30}(1⩽i,j⩽n)$

思路

折半搜索。

折半搜索，顾名思义就是把一条搜索路径分成两条，每条路径先各自考虑，最后将两条路径合起来考虑。
但折半搜索不一定是折半，在某些特定情况下分界点可以不同。

这个题不是特殊题，分界点就在正中间。

不难发现，走 $n-1$ 步可以走到的点 $(x,y)$ 要满足 $x+y=n+1$，首先枚举分界点。

折半搜索，两边分别记录一下各自会出现哪些异或和(假设用 $v$ 数组和 $g$ 数组存储)，统计满足如下要求的整数对数即可：

• $i⩽|v|,j⩽|g|$。
• $v_i=g_j$。

经过计算，我们发现要开 long long 存储。

复杂度

• 时间：$O(n\times 2^n+n^2)$。
• 空间：$O(2^n+n^2)$。

Code

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
 
using namespace std;
using ll = long long;
 
int n, a[30][30];
vector<int> v, g;
ll ans;
 
void dfs (int x, int y, int z) { // 前半条路径
  if (x == 0 || y == 0) {
    return ;
  }
  z ^= a[x][y];
  if (x + y == 2) {
    v.push_back(z);
    return ;
  }
  dfs(x - 1, y, z), dfs(x, y - 1, z);
}
 
void dfs2 (int x, int y, int z) { // 后半条路径
  if (x > n || y > n) {
    return ;
  }
  z ^= a[x][y];
  if (x + y == 2 * n) {
    g.push_back(z);
    return ;
  }
  dfs2(x + 1, y, z), dfs2(x, y + 1, z);
}
 
int main () {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
      cin >> a[i][j];
    }
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    vector<int> ().swap(v);
    vector<int> ().swap(g);// 清空
    dfs(i, n + 1 - i, 0);
    dfs2(i, n + 1 - i, a[i][n + 1 - i]); // 当前这个点会被算两次，怎么能行，先处理一下
    sort(v.begin(), v.end()), sort(g.begin(), g.end());
    for (int j : v) {
      int l = lower_bound(g.begin(), g.end(), j) - g.begin(), r = upper_bound(g.begin(), g.end(), j) - g.begin(); // 二分求满足要求的整数对数
      ans += r - l;
    }
  }
  cout << ans;
  return 0;
}