abc271_e Subsequence Path 题解

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Subsequence Path

题意

有 $n$ 个城市和 $m$ 条有向道路，编号从 $1$ 开始，第 $i$ 条道路从 $a_i$ 到 $b_i$，长度为 $c_i$。

给定一个长度为 $k$ 的序列 $e$，我们定义从 $1$ 到 $n$ 的一条路径是优秀的当且仅当：

• 经过的边的编号按顺序构成 $e$ 的一个子序列。

求从 $1$ 到 $n$ 的优秀路径长度最小值，如果不存在，输出 -1。

数据范围

• $2⩽n⩽2\times {10}^5$，$1⩽m,k⩽2\times {10}^5$。
• $1⩽a_i,b_i⩽n,a_i\ne b_i(1⩽i⩽m)$。
• $1⩽c_i⩽{10}^9(1⩽i⩽m)$。
• $1⩽e_i⩽m(1⩽i⩽k)$。

思路

看起来是一道图论题，但实际上是动态规划！

因为题目要求是 $e$ 序列的一个子序列，那就可以变成一个类子序列 dp。

• 状态：$d{p}_i$ 表示走到城市 $i$ 的最短距离。
• 转移：对于 $1⩽i⩽k$，$d{p}_{b_{e_i}}=min(d{p}_{a_{e_i}}+c_{e_i},d{p}_{b_{e_i}})$。
• 初始状态：$d{p}_1=0$。
• 目标状态：$d{p}_n$。

不开 long long 见祖宗！

复杂度

• 时间：$O(n+m+k)$
• 空间：$O(n+m)$

Code

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#include <iostream>
 
using namespace std;
using ll = long long; // 前排提示：不开 long long 见祖宗！
 
const int N = 2e5 + 10;
 
int n, m, k, e, a[N], b[N], c[N];
ll dp[N];
 
int main () {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> n >> m >> k;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    dp[i] = 1e18; // 赋值最大值
  }
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    cin >> a[i] >> b[i] >> c[i]; // 记录每条边
  }
  for (int i = 1; i <= k; i++) {
    cin >> e;
    dp[b[e]] = min(dp[b[e]], dp[a[e]] + c[e]); // 转移
  }
  cout << (dp[n] < 1e18 ? dp[n] : -1);
  return 0;
}