CF1077E Thematic Contests 题解

合集 - 题解(48)

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43.CF1077E Thematic Contests 题解2023-05-17

44.CF1935D Exam in MAC 题解2024-04-0145.CF1144G Two Merged Sequences 题解2024-06-1546.joi2022_yo2_c 国土分割 (Land Division) 题解2024-07-0947.P3588 PUS 题解2024-07-2048.CF1946F Nobody is needed 题解2024-08-03

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Thematic Contests

题意

有 $n$ 个问题，每个问题有一个分类 $a_i$。

现在要举办一些比赛，要求：

• 一场比赛中所有题目的分类相同。
• 所有比赛的分类是互不相同的。
• 第一场比赛的题目数量任意，但从第二场开始，每一场比赛的题目数量都必须是前一场的两倍。

求所有比赛的题目数量之和的最大值。

思路

一看数据范围，就知道要离散化。

有一个明显的贪心：按照每个分类的出现次数排序。把出现次数较少的分类放在后面是不可能使答案更优的，所以可以排序。

(温馨提示：接下来的部分中第 $i$ 种主题指的都是离散化后的。)

我的做法是 dp。

• 状态：$d{p}_{i,j}$，表示第 $i$ 种主题选择 $j$ 道题情况下，前 $i$ 种主题选择的题目数量最大值。
• 转移：$d{p}_{i,j}=\underset{k=1}{\overset{i-1}{max}}\{\underset{l=1,l\times 2=j}{\overset{b_k}{max}}\{d{p}_{k,l}\}\}+j$。
• 目标状态：$\underset{i=1}{\overset{m}{max}}\{\underset{j=1}{\overset{b_i}{max}}\{d{p}_{i,j}\}\}$，其中 $m$ 表示离散化后主题的数量，$b_i$ 表示第 $i$ 个主题中的题目数量。

但是很明显，二维状态存不下、转移时直接查找会 TLE，怎么办呢？

我们可以把最后一次比赛选择 $i$ 道题的最大答案记录下来，这样既可以省掉 $i$ 这一个维度，还可以节省掉查找的时间，两全其美。

具体实现看代码。

Code

点击查看代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
 
using namespace std;
 
const int N = 2e5 + 10;
 
int n, a[N], m, b[N], c[N], dp[N], ans;
// c[i] 用来记录最后一次比赛选择 i 道题的最大答案
 
int main(){
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> a[i];
  }
  // 以下内容为离散化
  sort(a + 1, a + n + 1);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (a[i] == a[i - 1]) {
      b[m]++;
    } else {
      b[++m] = 1;
    }
  }
  // 接下来是 dp 求答案
  sort(b + 1, b + m + 1); // 按出现次数从小到大排序
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    for (int j = 1; j <= b[i]; j++) { // 离散化后第 i 个主题选择了 j 个题目
      dp[j] = 0;
      if (!(j % 2)) { // j 是偶数，那么它的前面还可以添加比赛
        dp[j] = c[j / 2];
      }
      dp[j] += j; // 加上这次选择的题目数量
      ans = max(ans, dp[j]); // 统计答案
    }
    for (int j = 1; j <= b[i]; j++) {
      c[j] = max(c[j], dp[j]); // 注意细节！这里的最大值是不可以放在上面去更新的！
    }
  }
  cout << ans;
  return 0;
}