abc234_e Arithmetic Number 题解

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Arithmetic Number

题意

一个数 $n$ 被称为等差数当且仅当它满足以下条件：

• 令 $n=\overline{d_1{d}_2\dots d_k}$，$k$ 为 $n$ 的位数。
• $d_2-d_1=d_3-d_2=\cdots =d_k-d_{k-1}$，即序列 $d$ 为等差数列。
• 注意，当 $k=1$ 时 $d$ 也算做等差数列。

给定一个整数 $X$，求一个最小的 $Y$ 使得 $Y⩾X$ 并且 $Y$ 为等差数。

思路

暴力

一个一个数去枚举，每枚举一个就做一次判断，找到第一个等差数，输出。

正解

暴力时间复杂度肯定过不了。

首先，我们可以发现，等差数是非常少的，直接枚举会去判断太多的不合法答案。

但是，我们知道，等差数是必须长成一个等差数列的样子，也就是说，只要枚举一下首项和公差，就能推出整个等差数列。

但还有个问题，我们不清楚它要多少位啊 (其实不知道要多少位也是可以做的)。

我们知道，$n$ 位数里面最大的数肯定是 ${10}^n-1$，整个数由 $n$ 个 $9$ 组成，这时，我们就会惊喜地发现：它必然是一个等差数。

所以，只要取这个等差数列的前 $k$ 位($k$ 为 $X$ 的位数)，判断它是否大于等于 $X$ 即可，如果不成立，那么也不用考虑选更多位了，这个等差数列一定不是构成答案的等差数列

最后只需要注意判断等差数列中不能出现大于 $9$ 或小于 $0$ 的数即可。

Code

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#include <iostream>
 
using namespace std;
 
long long x, y, le; // 记得开 long long
int t, flag, sum, st;
 
int main(){
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> x;
  le = x;
  while (le) { // 求 x 的位数
    st = le % 10, le /= 10;
    sum++;
  }
  for (int i = st; i <= 9; i++) { // 优化一下，枚举首项
    for (int d = -9; d <= 9; d++) { // 枚举公差
      y = i, t = i, flag = 1;
      for (int j = 1; j < sum; j++) { // 枚举每一位
        t += d;
        if (t > 9 || t < 0) { // 判断不合法的情况
          flag = 0;
          break;
        }
        y = y * 10 + t;
      }
      if (flag && y >= x) { // 是一个大于 X 的等差数
        cout << y;
        return 0; // 结束
      }
    }
  }
  return 0;
}