P8786 李白打酒加强版 题解

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李白打酒加强版

题目大意

一开始酒显里有 $2$ 斗酒，每遇到一次店就会把酒显里的酒数量(单位: 斗)乘 $2$，每遇到一次花就把酒显里的酒喝掉 $1$ 斗。

这一路上一共遇到店 $n$ 次，遇到花 $m$ 次，且最后一次遇到的是花，酒显里没有一斗酒了。

计算这一路上遇到店和花的顺序总共有多少种可能(答案模 ${10}^9+7$)。

允许 $0$ 斗酒时遇到店，不允许 $0$ 斗酒时遇到花。

思路

这题我一眼就看出是一个动态规划题 (因为看了标签)。

由于最后一次固定为遇到花，所以可以先把 $m$ 减去 $1$。

• 状态：dp[i][j][k] 表示来到第 $i$ 处地点，遇到店 $j$ 次，酒显里还有 $k$ 斗酒的方案数。
• 转移方程：
  • 遇到店：dp[i - 1][j - 1][k / 2] 转移到 dp[i][j][k](需保证 $j⩾1$ 并且 $k$ 为偶数)
  • 遇到花：dp[i - 1][j][k + 1] 转移到 dp[i][j][k]。
• 初始状态：dp[0][0][2] = 1
• 目标状态：dp[n + m][n][1]

很显然，如果直接连续一百次遇到店(酒显里还有酒时)，酒显里的酒的斗数就会变得很大。

但是，要想喝最多 $100$ 斗就能喝完，当酒的斗数在任何时候超过 $100$ 的情况是不用讨论的，因为喝不完了。

Code

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#include <iostream>
 
using namespace std;
 
const int mod = 1e9 + 7;
 
int n, m;
int dp[210][110][110]; // 注意数组大小
 
int main(){
  cin >> n >> m;
  m--, dp[0][0][2] = 1; // 初始状态
  for (int i = 1; i <= n + m; i++){ // 一共 n + m 处地点
    for (int j = 0; j <= min(n, i); j++){ // 最多只能遇店 n 次，但是也不能超过 i 次
      for (int k = 0; k <= 100; k++){ // 100 以上不用考虑
        dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k + 1]; // 遇到花
        if (k % 2 == 0 && j){ // 满足要求，可以遇到店
          dp[i][j][k] = (dp[i][j][k] + dp[i - 1][j - 1][k / 2]) % mod; // 状态转移方程，记得取模
        }
      }
    }
  }
  cout << dp[n + m][n][1]; // 输出目标状态
  return 0;
}