abc252_d Distinct Trio 题解

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26.abc252_d Distinct Trio 题解2023-04-29

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Distinct Trio

这是数学题耶！

题意

给定一个整数 $n$ 和一个长度为 $n$ 的整数序列 $a$，求满足以下要求的三元组个数：

• $1⩽i<j<k⩽n$。
• $a_i\ne a_j$，$a_j\ne a_k$，$a_k\ne a_i$。

思路

先想正着做，好，不会。

正着做不行就反着做，先算出所有情况，再去掉不合法。

• 所有情况的公式：$\frac{n\times (n-1)\times (n-2)}{6}$。
  • 公式小解析：首先不考虑顺序，选掉一个数就少一个，选 $3$ 个就是 $n\times (n-1)\times (n-2)$。
  • 考虑顺序，去掉不合法，除以 $6$。
• 不合法的公式：
  • 不合法的情况就两种：
    • 两个数相同，另一个不同。
    • 三个数都相同。
  • 令 $cn{t}_i$ 表示 $i$ 在序列中的出现次数。
  • 对于一个出现在序列中的整数 $i$，它对答案的负贡献分为以下两种：
    • $\frac{cn{t}_i\times (cn{t}_i-1)\times (cn{t}_i-2)}{6}$，三个元素都相同，与所有情况同理。
    • $\frac{cn{t}_i\times (cn{t}_i-1)\times (n-cn{t}_i)}{2}$，其中两个元素相同需要去重，除以 $2$，另外一个数可以是非 $i$ 的任意数。

记得开个 long long。

Code

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#include <iostream>
 
using namespace std;
using ll = long long;
 
const int N = 2e5 + 10;
 
int n, a[N], cnt[N];
bool f[N];
ll ans; // 记得开 long long
 
int main () {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> a[i];
    cnt[a[i]]++; // 统计出现次数
  }
  ans = 1ll * n * (n - 1) * (n - 2) / 6; // 所有情况
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (f[a[i]]) { // 同一个数不用多次求
      continue;
    }
    f[a[i]] = 1; // 标记
    ans -= 1ll * cnt[a[i]] * (cnt[a[i]] - 1) * (cnt[a[i]] - 2) / 6; // 套用公式
    ans -= 1ll * cnt[a[i]] * (cnt[a[i]] - 1) * (n - cnt[a[i]]) / 2;
  }
  cout << ans;
  return 0;
}