abc252_d Distinct Trio 题解

Distinct Trio

这是数学题耶！

题意

给定一个整数 \(n\) 和一个长度为 \(n\) 的整数序列 \(a\)，求满足以下要求的三元组个数：

• \(1 \leqslant i < j < k \leqslant n\)。
• \(a_i \ne a_j\)，\(a_j \ne a_k\)，\(a_k \ne a_i\)。

思路

先想正着做，好，不会。

正着做不行就反着做，先算出所有情况，再去掉不合法。

• 所有情况的公式：\(\frac{n \times (n-1) \times (n - 2)}{6}\)。
  • 公式小解析：首先不考虑顺序，选掉一个数就少一个，选 \(3\) 个就是 \(n \times (n - 1) \times (n - 2)\)。
  • 考虑顺序，去掉不合法，除以 \(6\)。
• 不合法的公式：
  • 不合法的情况就两种：
    • 两个数相同，另一个不同。
    • 三个数都相同。
  • 令 \(cnt_i\) 表示 \(i\) 在序列中的出现次数。
  • 对于一个出现在序列中的整数 \(i\)，它对答案的负贡献分为以下两种：
    • \(\frac{cnt_i \times (cnt_i - 1) \times (cnt_i - 2)}{6}\)，三个元素都相同，与所有情况同理。
    • \(\frac{cnt_i \times (cnt_i - 1) \times (n - cnt_i)}{2}\)，其中两个元素相同需要去重，除以 \(2\)，另外一个数可以是非 \(i\) 的任意数。

记得开个 long long。

Code

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#include <iostream>

using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 2e5 + 10;

int n, a[N], cnt[N];
bool f[N];
ll ans; // 记得开 long long

int main () {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> a[i];
    cnt[a[i]]++; // 统计出现次数
  }
  ans = 1ll * n * (n - 1) * (n - 2) / 6; // 所有情况
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (f[a[i]]) { // 同一个数不用多次求
      continue;
    }
    f[a[i]] = 1; // 标记
    ans -= 1ll * cnt[a[i]] * (cnt[a[i]] - 1) * (cnt[a[i]] - 2) / 6; // 套用公式
    ans -= 1ll * cnt[a[i]] * (cnt[a[i]] - 1) * (n - cnt[a[i]]) / 2;
  }
  cout << ans;
  return 0;
}