abc253_e Distance Sequence 题解

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28.abc253_e Distance Sequence 题解2023-04-23

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Distance Sequence

简单的动态规划题。

题意

给定三个整数 $n$、$m$ 和 $k$，求有多少个序列满足以下条件：

• 对于 $1⩽i⩽n$，$1⩽a_i⩽m$。
• 对于 $1<i⩽n$，$|a_i-a_{i-1}|⩾k$。

答案对 $998244353$ 取模。

思路

求方案数？首先考虑用动态规划。

• 状态：$d{p}_{i,j}$ 表示考虑前 $i$ 个数，且第 $i$ 个数为 $j$ 的方案数。
• 转移：
  • 如果 $k\ne 0$，则 $d{p}_{i,j}=(\sum _{1⩽l⩽j-k}d{p}_{i-1,l}+\sum _{j+k⩽l⩽m}d{p}_{i-1,l})$。
  • 如果 $k=0$，则 $d{p}_{i,j}=\sum _{1⩽l⩽m}d{p}_{i-1,l}$。
• 初始状态：对于 $1⩽i⩽m$，$d{p}_{1,i}=1$。
• 目标状态：$\sum _{1⩽i⩽m}d{p}_{n,i}$。

我们可以敲出一个暴力，时间复杂度：$O(n^2\times m)$，点这里，可以发现只能过一半的测试点。

这时，我们发现：转移是一段区间的和！考虑前、后缀和优化，将转移优化至 $O(1)$。

由于有了前后缀和，我们就可以省略掉 $i$ 这个维度，记得取模。

时空复杂度

• 时间复杂度：$O(n\times m)$。
• 空间复杂度：$O(m)$。

代码

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#include <iostream>
 
using namespace std;
using ll = long long;
 
const int mod = 998244353;
 
ll dp[5010], sum[5010], num[5010]; // 我为了防止爆 int，开了 long long
int n, m, k;
 
int main () {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> n >> m >> k;
  for (int i = 1; i <= m; i++) { // 初始状态
    sum[i] = sum[i - 1] + 1;
  }
  for (int i = m; i; i--) {
    num[i] = num[i + 1] + 1;
  }
  for (int i = 2; i <= n; i++) { // 枚举处理前几个，第 1 个已经处理了
    for (int j = 1; j <= m; j++) { // 枚举当前位置上的数值
      if (k == 0) { // 分类讨论，因为当 k = 0 时上一位数值为 j 的方案数会算两次
        dp[j] = sum[m];
      } else {
        dp[j] = 0;
        if (j > k) { // 确保下标不越界
          dp[j] = sum[j - k]; // 前缀
        }
        if (j + k <= m) {
          dp[j] = (dp[j] + num[j + k]) % mod; // 后缀
        }
      }
    }
    for (int j = 1; j <= m; j++) { // 更新前缀和
      sum[j] = (sum[j - 1] + dp[j]) % mod;
    }
    for (int j = m; j; j--) { // 更新后缀和
      num[j] = (num[j + 1] + dp[j]) % mod;
    }
  }
  cout << sum[m]; // 偷懒，sum[m] = dp[1] + dp[2] + ... + dp[m]，不用再算一遍，同理 num[1] 也可以
  return 0;
}