abc250_d 250-like Number 题解

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250-like Number

题意

给定一个整数 $n$，求有多少小于等于 $n$ 的满足以下条件的整数 $k$：

• $k$ 可以被表示为 $k=p\times q^3$，其中 $p<q$，并且 $p,q$ 均为质数。

数据范围

• $1⩽n⩽{10}^{18}$，$n$ 是整数。

思路

首先，我们发现这个式子中有一个立方，这个肯定就是突破口，因为 $p<q$，所以 $p<q⩽{10}^6$。

因为要求 $p,q$ 均为质数，所以先要筛出所有 ${10}^6$ 以内的质数。

根据突破口，我们可以发现枚举 $q$ 是不会TLE的，那么考虑第一步枚举 $q$，并且随着 $q$ 的增大，$p$ 的取值范围是不会变小的！

那么做法就出来了，先预处理出所有 ${10}^6$ 以内的质数，然后用双指针求出答案即可。

复杂度

• 时间：$O(V\log \log V+n)$，说实话有点险，不建议在比赛时这么做
• 空间：$O(n)$

Code

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
 
using namespace std;
using ll = long long;
 
const int N = 1e6 + 10;
 
int f[N];
ll n, ans;
vector<int> v;
 
void ES () { // 埃氏筛筛出所有质数
  f[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= 1e6; i++) {
    if (f[i]) {
      continue;
    }
    v.push_back(i);
    for (int j = 2; i * j <= 1e6; j++) {
      f[i * j] = 1;
    }
  }
}
 
int main () {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  ES();
  cin >> n;
  for (int i = 1, k = v.size() - 1; i < v.size(); i++) { // 枚举 q, 双指针求答案
    ll j = 1ll * v[i] * v[i] * v[i]; // q 的立方
    if (j > n) { // 超出范围
      break;
    }
    for (; k >= 0 && 1ll * v[k] * j > n; k--) { // 移动 p 的范围
    }
    ans += min(i, k + 1); // 求答案，且 p 不能超过 q
  }
  cout << ans;
  return 0;
}